5.2.1三角函数的概念课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.2三角函数的概念 第1课时 三角函数的概念 第五章 三角函数 探究一：三角函数的概念 生活毛毛将直角三角形放在如图所示的平面直角坐标系中，探究锐角 𝛼与三角形边的关系，使锐角的顶点与原点重合，始边与𝑥轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 ，作 轴于点，设 . 情境设置 问题1：你能说出角𝛼的正弦、余弦、正切值分别等于什么吗？ 【解析】： , 2 探究一：三角函数的概念 问题2：对确定的锐角的值是否随着点𝑃在终边上的位置改变而改变？ 情境设置 【解析】：不会，因为三角函数值是比值，其大小与点 在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 3 新知生成 知识点一 任意角的三角函数的定义 如图，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 1、定义 (1)正弦：点P的_________叫做α的正弦函数，记作，即＝______; (2)余弦：点P的_________叫做α的正弦函数，记作，即＝______; (3)正切：点P的纵坐标与横坐标的比值_______叫做α的正切，记作，即 ＝__________ 纵坐标 横坐标 4 新知生成 知识点一 任意角的三角函数的定义 如图，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 2、三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以_________上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 单位圆 5 新知生成 知识点一 任意角的三角函数的定义 注意： (1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角. (2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定. (3)要明确是一个整体，不是与的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如 表示自变量为的函数一样，离开自变量的“”“”“” 等是没有意义的. 6 新知生成 知识点一 常用三角函数值 7 小试牛刀 1.利用三角函数的定义，求 的三个三角函数值. 2. 已知角的终边过点求角的三角函数值. 【解析】：如图所示，在, , 【解析】：，， 8 一、三角函数的概念 例题1 (1)已知角的终边与单位圆的交点为 ，则 _________. (2)已知角的终边落在射线上，求 的值. 【解析】： (1)因为点在单位圆上，则 ，所以 ， 所以 . (2)设射线 上任一点 ，则 ， 9 反思感悟 方法总结 (1)已知角𝛼的终边在直线上,求𝛼的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. ②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标 ，则对应角的正弦值，余弦值 ，正切值. (2) 当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 10 新知运用 跟踪训练1 已知角 𝛼 的终边过，则 【解析】：由题意可知，因为 ， ①若，角在第二象限， ，所以 . ②若，角在第四象限，， 所以. 综上所述， 11 探究二：三角函数值的符号 因为角的正弦值、余弦值、正切值与点在角终边上的位置无关，只与比值, , 有关,始终为正值，且 ，所以比值的正负只与点的横、纵坐标的正负有关.正弦函数值的符号与的符号相同，而在第一象限内， ，所以；同理，余弦函数值的符号与的符号相同，而在第一象限内， ，所以；对于正切函数，在第一象限内，，则由定义得. 情境设置 思考：根据上诉在其他三个象限的符号是什么? 12 新知生成 知识点二 三角函数值的符号 1.三角函数的定义域 2.三角函数值的符号(如图所示) 口诀： 一全正，二正弦，三正切，四余弦. 三角函数 定义域 13 二、三角函数值的符号 例题2 (1)若角 同时满足 ，则角的终边一定位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2) (填“ < ”或“ > ”) 【解析】:(1)由 sin𝜃<0 ，可知 �� 的终边可能位于第三或第四象限，也可能与 𝑦 轴的负半轴重合;由 tan𝜃<0 ，可知 𝜃 的终边可能位于第二或第四象限.故 𝜃 的终边只能位于第四象限． (2)因为 是第四象限角，所以 sin <0 ，因为 是第三象限角，所以 cos()<0 ，所以 sin cos()>0 ． 14 反思感悟 方法总结 判断三角函数值符号的两个步骤: (1)定象限：确定角所在的象限. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断. 15 二、三角函数值的符号 跟踪训练