专题27.1 图形的相似（十一大考点）-2023-2024学年九年级数学下册考点剖析及精准练习（人教版）

专题27.1图形的相似 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段; 2.通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比. 一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段长度分别是，那么就说这两条线段的比是，或写成 2．成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若，则； （2）若，则（称为的比例中项）． 二、黄金分割比 1.黄金分割的定义：点把线段分割成和两段,如果,那么线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比. 注意：(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段，按照如下方法作图： （1）经过点作，使. （2）连接，在上截取. （3）在上截取.则点为线段的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 三、相似图形 1.相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形 注意：①相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； ②“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 2.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 四、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 如图一:直线.直线分别交于，若.则 拓展： ①如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 如图一:直线，直线分别交于.且距离为,若,则 ②经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 如图二:在中，为中点，交于点，则 ③经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 如图三:在梯形中，为中点，交于点，则 五、平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 如图四，在中，,则 如图五，在中，交延长线于,则 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 如图四，在中，，则 如图五，在中，交延长线于，则 考点01成比例线段的概念 例1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 变式1-1．下列四条线段中，不是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知是比例线段，若，则 . 变式1-3．若线段，线段c是线段 a，b的比例中项， 则线段c的长度是 考点02比例的性质（比值问题） 例2．若，则 ． 变式2-1．若，则的值为 ． 变式2-2．已知，则 ． 变式2-3．若，则的值是（    ） A． B． C． D．5 考点03比例的性质（三角形问题） 例3．已知a，b，c为的三边，且，则k的值为（    ） A．1 B．或 C． D．1或 变式3-1．已知三角的三边a、b、c满足，且三角形的周长为26，则该三角形的最大边长为 ． 变式3-2．已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 变式3-3．已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由． 考点04黄金分割 例4．若点P为线段的黄金分割点，且，，则 ． 变式4-1．黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为10cm，则的长度为 cm（结果保留根号）． 变式4-2．人体的正常体温是左右，有关科学研究表明，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适．这个气温的度数约为 （精确到）． 变式4-3．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），这种分割称为黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．如图，若设线段，点是的黄金分割点，则的长为 （用含根号的式子表示）． 考点05平行线分线段成比例（“#”字型） 例5．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5-1．如图，，若，，，则的长等于（    ） A．2 B．3