（练习）课时分层作业19 二项式系数的性质及应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十九)　二项式系数的性质及应用 一、选择题 1．(多选题)已知(a＋2b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 ABC　[当(a＋2b)n的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，n＝7； 当(a＋2b)n的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，n＝9； 当(a＋2b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，n＝8．] 2．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为(　　) A．5 B．10 C．20 D．40 B　[因为的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5．所以的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－r＝Cx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10．] 3．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 8)，则b的值可以是(　　) A．2 023 B．2 024 C．2 025 D．2 026 C　[∵a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320，且320＝910＝(1＋8)10＝C＋C·8＋C·82＋…＋C·810，∴a被8除得的余数为1，同理b被8除得的余数也要为1，观察四个选项，可知选C．] 4．的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项 B．第9项 C．第8项或第9项 D．第11项或第12项 D　[因为展开式中的第8项为C·()n－7·为常数，即＝0，所以n＝21，所以最大项为中间两项，即第11或第12项．] 5．(多选题)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为2 048 B．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最大 AC　[(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，所以B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D不正确．] 二、填空题 6．在二项式的展开式中，各项系数的和为________，含x的一次项的系数为________．(用数字作答) －1　－10　[在二项式中，取x＝1，可得各项系数的和为－1；二项式的展开式的通项Tr＋1＝C()5－r·＝(－2)rCx．由＝1，得r＝1． ∴含x的一次项的系数为－2C＝－10．] 7．(x＋2y)4展开式中二项式系数最大的项的系数为________．(用数字作答) 24　[∵(x＋2y)4展开式中的通项公式为Tr＋1＝C·2r·x4－r·yr， 故第r＋1项的二项式系数为C，故当r＝2时，二项式系数最大， 故二项式系数最大的项的系数为C·22＝24．] 8．已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值为________． 729　[令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1， ① 令x＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36， ② ①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝， ①－②得a1＋a3＋a5＝． |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝－＝36＝729．] 三、解答题 9．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6． [解]　(1)令x＝0，则a0＝－1， 令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128． ① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129． (2)令x＝－1，则 －a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7， ② 由，得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256． (3)由，得 a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128． 10．设(1＋2)2n＋1＝an＋2bn(n∈N*，an∈Z，bn∈Z)． (1)求证：a－8b能被7整除； (2)求证：bn不能被5整除． [证明]　(1)(1＋2)2n＋1＝C＋C(2)＋C(2)2＋…＋C(2)2n＋1，(1－2)2n＋1＝C－C(2)＋C(2)2＋…－C(2)2n＋1， 由(1＋2)2n＋1＝an＋2bn，可得(1－2)2n＋1＝a