（练习）课时分层作业17 组合的综合应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十七)　组合的综合应用 一、选择题 1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有(　　) A．27种　 B．24种　 C．21种　 D．18种 C　[分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．] 2．某地区高考改革，实行“3＋2＋1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合的种数为 (　　) A．8种　 B．12种　 C．16种　 D．20种 B　[根据题意，分3步进行分析： ①语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法； ②在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有C＝6种选法； ③在物理、历史两门科目中必选一门有C＝2种选法． 则这名学生的不同选科组合有1×6×2＝12种．] 3．某学校高三有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到A大学、B大学和C大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去C大学，则不同的保送方案共有(　　) A．24种　 B．36种　 C．48种　 D．64种 A　[将四位同学分为三组，这样有两位同学一起，其他两位单独一起，共有C种情况，将三组同学分到三个学校，由于甲同学要求不去C大学，含有甲的只有2种选择，不含甲的剩下两组分到另外两组，共有2种选择．故有C×2×2＝24种．] 4．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴四个不同场馆服务，不同的分配方案有(　　) A．1 080种　　 B．1 280种 C．2 160种　　 D．4 320种 A　[根据题意，分2步进行分析： ①将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，有＝45种分组方法； ②将分好的4组全排列，安排到四个不同场馆，有A＝24种情况， 则有45×24＝1 080种分配方案．] 5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的，我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取三点，则该三点不在同一片“风叶”上的概率为(　　) A． B． C． D． A　[从“数学风车”的八个顶点中任取三点，有C＝56种取法，该三点不在同一片“风叶”上的取法种数为C－4＝52．所以该三点不在同一片“风叶”上的概率为＝．故选A．] 二、填空题 6．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个． 225　[在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225个．] 7．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言不能相邻，则不同的发言顺序种数为________． 600　[分两类：第一类，甲、乙只有一人参加，有C·CA＝2×10×24＝480种．第二类，甲、乙都参加，有C·(A－AA)＝10×12＝120种，所以共有480＋120＝600种．] 8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有________种．(用数字作答) 240　[从10个球中任取3个，有C种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种，∴共有2C种方法，即240种．] 三、解答题 9．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6个不同的小球放入4个不同的盒子； (2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球． [解]　(1)每个小球都有4种放法，根据分步计数原理知，共有46＝4 096种不同放法． (2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法． (3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1放入有C种方法，共有C＋C＝10(种)不同放法． 法二：在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有C＝10(种)不同放法． 10．一个口袋内有3个不同的红球