（练习）课时分层作业13 分类计数原理与分步计数原理的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十三)　分类计数原理与分步计数原理的应用 一、选择题 1．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A．25　 B．20　 C．16　 D．12 C　[分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16．] 2．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　) A．24种　 B．30种　 C．36种　 D．48种 D　[由题意知本题是一个分步计数问题， 需要先给最上面一块着色，有4种方法， 再给中间左边一块着色，有3种方法， 再给中间右边一块着色有2种方法， 最后给下面一块着色，有2种方法， 根据分步计数原理知共有4×3×2×2＝48种方法．] 3．(多选题)某校实行选课走班制度，小毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，小毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是(　　) 第1节 第2节 第3节 第4节 地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班 生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班 物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班 物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班 政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班 A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式 C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节 BD　[由于生物在B层，只有第2,3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类计数原理可得选课方式有4＋1＝5种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选BD．] 4．中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9个数字表示两位数的个数为(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 D　[6根算筹可以表示的数字组合为(1,5)，(1,9)，(2,4)，(2,8)，(6,4)，(6,8)，(3,3)，(3,7)，(7,7)，数字组合(1,5)，(1,9)，(2,4)，(2,8)，(6,4)，(6,8)，(3,7)中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；数字组合(3,3)，(7,7)，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1＝2个两位数，则一共可以表示14＋2＝16个两位数，故选D．] 5．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有(　　) A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 B　[如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，对于A区域，有4种涂法；对于B区域，与A相邻，有3种涂法；对于C区域，与A、B相邻，有2种涂法；对于D区域，若其与B区域同色，则E区域有2种涂法，若其与B区域不同色，则E区域有1种涂法，则不同的涂色方案共有4×3×2×(2＋1)＝72种，故选B．] 二、填空题 6．三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种(比如：B与D、B与C是相邻的，A与D、C与D是不相邻的)． 192　[分2步进行分析，第一步，在三对父子中任选1对，有3种选法，由题图可得仅有一对父子相邻有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有3×4×2＝24种安排方法；第二步，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有2×2×2＝8种安排方法，则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有24×8＝192种．] 7．用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2 000大的四位奇数________个． 120　[按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类：末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类：末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类计数原理知共有48＋36＋36＝120个．] 8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有________种．