（练习）课时分层作业12 分类计数原理与分步计数原理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十二)　分类计数原理与分步计数原理 一、选择题 1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有(　　) A．4种　 B．5种　 C．6种　 D．7种 A　[分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法．即1和4,2和3两种方法． 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法．即2和4,3和3两种方法． 三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的． 所以不同的分法共有2＋2＝4种．] 2．某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　　) A．12 B．20 C．36 D．120 B　[利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有4种方法，第二步插入第二个节目，此时有5个空，故有5种方法．因此不同的插法共有4×5＝20种．故选B．] 3．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　) A．24　 B．18　 C．12　 D．9 B　[由题意可知E→F最短路径有6种走法，F→G最短路径有3种走法，由分步计数原理知，最短路径共6×3＝18种走法．] 4．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有(　　) A．36种 B．30种 C．24种 D．20种 D　[当甲和乙都用现金结账时，丙有3种方法，丁有4种方法，共有3×4＝12种方法；当乙用银联卡结账，甲用现金结账时，丙有2种方法，丁有4种方法，共有2×4＝8种方法．综上，共有12＋8＝20种结账方式．故选D．] 5．晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则晓芳不同的选择穿衣服的方式有(　　) A．24种　 B．14种　 C．10种　 D．9种 B　[首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类计数原理知共有12＋2＝14种不同穿衣服的方式．] 二、填空题 6．现用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有________种．(用数字作答) 96　[根据题意，假设正五角星的区域依次为A、B、C、D、E、F，如图所示，由分步计数原理，先对A区域涂色，有3种方法，B、C、D、E、F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有3×2×2×2×2×2＝96种涂色方案．] 7．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 2 880　[分两步安排这8名运动员． 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，共有4×3×2＝24种方法； 第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120种方法．所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880种．] 8．若x，y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有________个． 15　[将满足条件x，y∈N*，且x＋y≤6的x的值进行分类： 当x＝1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个； 当x＝2时，y可取的值为4,3,2,1，共4个； 当x＝3时，y可取的值为3,2,1，共3个； 当x＝4时，y可取的值为2,1，共2个； 当x＝5时，y可取的值为1，共1个． 即当x＝1,2,3,4,5时，y的值依次有5,4,3,2,1个， 由分类计数原理得，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．] 三、解答题 9．某校高二共有三个班，各班人数如下表． 男生人数 女生人数 总人数 高二(1)班 30 20 50 高二(2)班 30 30 60 高二(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ [解]　(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案： 第1类，从