（练习）课时分层作业11 空间距离的计算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十一)　空间距离的计算 一、选择题 1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　) A．a B． C． D． D　[连接BD，AC交于点O(图略)， 则D1O＝＝为所求．] 2．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[＝(0,4，－3)，＝(－4,9，－3)，＝＝9，||＝＝，BD＝＝＝5，故选C．] 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 B　[∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d＝＝＝，故选B．] 4．已知三棱锥O­ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(　　) A． B． C． D．3 B　[以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz． 由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， ∴＝(－1,2,0)，＝(0，－2,2)，||＝＝，＝． ∴点A到直线BC的距离d＝＝．] 5．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　) A． B． C． D． C　[如图，建立空间直角坐标系D­xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)， ∴＝(2,2,0)，＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)， 设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥，n⊥， ∴即令z＝1，则平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2,1)． 由在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝．] 二、填空题 6．在空间直角坐标系O­xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝________． 2　[d＝＝＝2．] 7．如图所示，在直二面角D­AB­E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________． 　[取AB的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)， D(0，－1,2)，C(0,1,2)，＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)． 设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)． 故点D到平面ACE的距离d＝＝＝．] 8．已知直线l的方向向量为m＝(1，，－1)，若点P(－1，1，－1)为直线l外一点，A(4,1，－2)为直线l上一点，则P到直线l上的距离为________． 　[∵P(－1,1，－1)，A(4,1，－2)， ∴＝(5,0，－1)，又m＝(1，，－1)， ∴cos〈m，〉＝＝＝， ∴sin〈m，〉＝， 又∵||＝， ∴点P(－1,1，－1)到直线l的距离为： ||sin〈m，〉＝×＝，故答案为．] 三、解答题 9．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝2，D是CC1的中点，E是A1B1的中点． (1)证明：DE∥平面A1BC; (2)求点A到平面A1BC的距离． [解]　(1)证明：如图， 取A1B的中点F， 连接FC，FE． 因为E，F分别是A1B1，A1B的中点， 所以EF∥BB1，且EF＝BB1． 又在平行四边形BB1C1C中，D是CC1的中点， 所以CD∥BB1，且CD＝BB1，所以CD∥EF，且CD＝EF． 所以四边形CFED是平行四边形，所以DE∥CF． 因为DE⊄平面A1BC，CF⊂平面A1BC，所以DE∥平面A1BC． (2)由题意知，三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱．取AB的中点O，连接OC，OE． 因为AC＝BC，所以CO⊥AB． 又平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB， 所以CO⊥平面ABB1A1． 因为O为AB的中点，E为A1B1的中点，所以OE⊥AB，所以OC，OA，OE两两垂直． 如图，以O为坐标原点，以OA，OE，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则C(0,0，)，A(1,0,0)，A1(1,2，0)，B(－1,0,0)． 则＝(2,2，0)，＝(1,0，)． 设平面A