（练习）课时分层作业8 空间向量与平行关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(八)　空间向量与平行关系 一、选择题 1．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 B　[因为A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4，3,0)，所以＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，可得＝－3，所以∥，直线AB与CD的位置关系是平行，故选B．] 2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) D　[若l∥α，则a·n＝0．而A中a·n＝－2， B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0．故选D．] 3．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则(　　) A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．α与β平行或重合 D　[因为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，所以有n＝－2m，即m与n共线(平行)，可知平面α和平面β相互平行或重合．故选D．] 4．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 A　[由题意得＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)． ∵n·＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1＋1＝0， n·＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1＋1＝0， ∴n⊥，n⊥， ∴n也为α的一个法向量， 又α与β不重合，∴α∥β．故选A．] 5．若直线α的一个方向向量是a＝(1,1,1)，平面β的一个法向量是b＝(－1,2，－1)，则直线α与平面β的位置关系是(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α∥β或α⊂β D．不确定 C　[因为a·b＝(1,1,1)·(－1,2，－1)＝1×(－1)＋1×2＋1×(－1)＝0， 所以a⊥b，又因为直线α的一个方向向量是a＝(1,1,1)，平面β的一个法向量是b＝(－1,2，－1)，所以直线α与平面β的位置关系是α∥β或α⊂β．] 二、填空题 6．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于________． 1　[由l∥α可知a·n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1．] 7．已知向量＝(1,5，－2)，＝(3,1,2)，＝(x，－3,6)．若DE∥平面ABC，则x的值是________． 5　[∵DE∥平面ABC， ∴存在实数m，n，使得＝m＋n， ∴解得x＝5．] 8．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________． 垂直　[以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F， ∴＝， 平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)． ∵＝－n， ∴∥n．∴EF⊥平面PBC．] 三、解答题 9．如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明： (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D． [证明]　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)． 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D， 所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量． 由于＝(0,1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥． 又MN⊄平面CC1D1D， 所以MN∥平面CC1D1D． (2)由于＝(0,2,0)， 所以∥， 所以MP∥DC． 由于MP⊄平面CC1D1D， 所以MP∥平面CC1D1D． 又由(1)知，MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M， 所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D． 10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? [解]　建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，设正方体的棱长为2， 则O(1,1,0)