（练习）课时分层作业7 直线的方向向量与平面的法向量-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(七)　直线的方向向量与平面的法向量 一、选择题 1．若A(－1,0,2)，B(1,4,10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,4) B．(1,4,2) C．(2,1,4) D．(4,2,1) A　[由已知得＝(1,4,10)－(－1,0,2)＝(2,4,8)＝2(1，2,4)， 故选项A中的向量与共线，是直线l的一个方向向量．] 2．(多选题)在空间直角坐标系O­xyz中，下列向量中是y轴方向向量的是(　　) A．(0,1,0) B．(0，－1,0) C．(1,2,0) D．(0,1,1) AB　[y轴方向向量可以表示为(0，k,0)(k≠0)， 所以(1,2,0)，(0,1,1)不是y轴方向向量．] 3．已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是(　　) A．6和－10 B．－6和10 C．－6和－10 D．6和10 A　[由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，即＝＝，所以x，y的值分别是6和－10．] 4．已知点A(1,2,1)，B(2,3,1)，C(3,0,2)，若直线l⊥平面ABC，直线l的方向向量为a＝(2，m，k)，则实数m等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 A　[由题意知＝(1,1,0)，＝(2，－2,1)． 由a⊥，a⊥得 所以] 5．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则y＋z等于(　　) A．－3 B．0 C．1 D．3 B　[由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)， 则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0．] 二、填空题 6．在空间直角坐标系O­xyz中，平面xOy的一个法向量是________．(写出一个即可) (0,0,1)　[答案不唯一，只要与向量(0,0,1)平行的非零向量都可以．] 7．已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________． 　[∵A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)， ∴＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)． ∵⊥，⊥， ∴·＝(－x,1，－z)·(－1，－1,1)＝0， ·＝(－x,1，－z)·(2,0,1)＝0， ∴∴ ∴点P的坐标为．] 8．在空间直角坐标系O­xyz中，已知平面α的一个法向量是n＝(1，－1,2)，且平面α过点A(0,3,1)．若P(x，y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是________． x－y＋2z＋1＝0　[由题意知·n＝0，即x－y＋2z＋1＝0．] 三、解答题 9．在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,0)，B(1,2,3)，P是线段AB上的一点，且满足AP∶PB＝1∶2．试求AB的一个方向向量和点P的坐标． [解]　＝(－1，－1,3)是直线AB的一个方向向量， 由AP∶PB＝1∶2，得＝． 设点P(x，y，z)，则(x－2，y－3，z)＝(－1，－1,3)， x－2＝－，y－3＝－，z＝1， ∴x＝，y＝，z＝1．∴P． 10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：是平面B1D1C的法向量． [证明]　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则D1(0，0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， B1(1，1,1)，C1(0,1,1)， 所以＝(－1,1,1)，＝(1,1,0)，＝(1,0,1)， 所以·＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0， ·＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0， 所以⊥，⊥，即AC1⊥D1B1，AC1⊥CB1， 又B1D1∩CB1＝B1，B1D1，CB1⊂平面B1D1C，所以AC1⊥平面B1D1C， 所以是平面B1D1C的法向量． 11．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　) A．(1，－4,2) B． C． D．(0，－1,1) D　[因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a， 若n是平面α的一个法向量，则必须满足 把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D．] 12．(多选题)已知向量＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A． B． C． D． AB　[设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)， 则由题意得 取z＝1，得x＝，y＝－1， 则n＝