（讲义）第7章 7.4 7.4.1 二项式定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

7.4　二项式定理

7.4.1　二项式定理

 

知识点1　二项式定理

公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)叫作二项式

定理．

1．利用二项式定理展开下列各式．

(1)(a－b)6＝_______________________________________；

(2)(1＋x)5＝______________________________________．

[答案]　(1)a6－6a5b＋15a4b2－20a3b3＋15a2b4－6ab5＋b6

(2)1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5

2．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，则下式中与它相等的是(　　)

A．(x－2)4   B．(x－1)4

C．x4   D．(x＋1)4

C　[逆用二项式定理可得S＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C＝[(x－1)＋1]4＝x4．]

知识点2　二项展开式的通项及二项式系数

1．(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中的第r＋1项Can－rbr叫作二项展开式的通项，记作Tr＋1＝Can－rbr．

2．(a＋b)n的二项展开式各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫作第r＋1项的二项式系数．

(1)二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？

(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项是否相同？

[提示]　(1)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．

(2)不同．(a＋b)n展开式中第r＋1项为Can－rbr，而(b＋a)n展开式中第r＋1项为Cbn－rar．

类型1　二项式定理的正用和逆用

【例1】　(1)求的展开式；

(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC．

[解]　(1)法一：＝C()4－C()3·＋C()2·－C·＋C＝x2－2x＋－＋．

法二：＝＝(2x－1)4

＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)

＝x2－2x＋－＋．

(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn．

二项式定理的双向功能

(1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．

1．(1)用二项式定理展开；

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

[解]　(1)法一：＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)3＋