（讲义）第7章 7.4 7.4.2 二项式系数的性质及应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

7.4.2　二项式系数的性质及应用

 

知识点　二项式系数的性质

(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：

(1)C＝C；

(2)C＋C＝C；

(3)当r<时，C<C；当r>时，C<C；

(4)C＋C＋…＋C＝2n．

1．C＋C＋…＋C＝________．

263　[C＋C＋…＋C＝[(1＋1)64－(1－1)64]＝264－1＝263．]

2．C＋C＝________．(用组合数表示)

C　[C＋C＝C．]

3．(2－x)10的展开式中的各项系数和为________．

1　[令x＝1即得各项系数和，

∴各项系数和为1．]

类型1　求展开式的系数和

【例1】　设(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022·x2 022(x∈R)．

(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 022的值；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；

(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 022|的值．

[解]　(1)令x＝1，得

a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝(－1)2 022＝1． ①

(2)令x＝－1，得

a0－a1＋a2－…－a2 021＋a2 022＝32 022． ②

①－②得

2(a1＋a3＋…＋a2 021)＝1－32 022，

∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝．

(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，

∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 022|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＋a2 022＝32 022．

[母题探究],在本例条件不变的情况下，求下列各式的值.

1a2＋a4＋a6＋…＋a2 022；

2a1＋2a2＋3a3＋…＋2 022a2 022.

二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．