（讲义）第7章 7.3 第2课时 组合的综合应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

第2课时　组合的综合应用

 

类型1　无限制条件的组合问题

【例1】　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加；

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．

[解]　(1)从中任选5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法．

(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法．

(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．

[母题探究]

1．在本例条件下，甲、乙、丙三人至少1人参加，有多少种不同的选法？

[解]　法一：可分为三类：

第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有CC＝378种；

第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有CC＝252种；

第三类：甲、乙、丙中有3人参加，共有CC＝36种．

共有CC＋CC＋CC＝666种不同的选法．

法二：12人中任意选5人，共有C种，甲、乙、丙三人都不能参加的有C种，

所以共有C－C＝666种不同的选法．

2．在本例条件下，甲、乙、丙三人至多2人参加，有多少种不同的选法？

[解]　法一：甲、乙、丙三人至多2人参加，可分为三类：

第一类：甲、乙、丙都不参加，共有C种；

第二类：甲、乙、丙中有1人参加，共有CC种；

第三类：甲、乙、丙中有2人参加，共有CC种．

共有C＋CC＋CC＝756种不同的选法．

法二：12人中任意选5人，共有C种，甲、乙、丙三人全参加的有C种，

所以共有C－C＝756种不同的选法．

解简单的组合应用题的策略

(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关，只要元素相同即可．

(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．

1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？

[解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45．

(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2名是女教师有C种方法，即共有C＋C＝21(种)．

类型2　有限制条件的组合问题

【例2】　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

(1)至少有一名队长当选；

(2)至多有两名女生当选；

(3)既要有队长，又要有女生当选．

[解]　(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825种．或采用排除法有C－C＝825种．

(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966种．

(3)分两类情况：

第一类：女队长当选，有C种；

第二类：女队长不当选，则男队长当选，

有C·C＋C·C＋C·C＋C种．

故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种．

[母题探究]

在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？

[解]　分两类情况：,第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11