（讲义）第7章 7.2 第1课时 排列与排列数公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

7.2　排列 第1课时　排列与排列数公式 1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点) 2．理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点) 1．通过学习排列的概念及排列数公式，体现了数学抽象的素养． 2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养． 在数学竞赛颁奖仪式上，辅导老师和甲、乙两名特等奖获得者合影留念，师生三人站成一排． 问题：(1)辅导老师在正中间时，甲在左边和乙在左边是相同的排法吗？ (2)三人任意排列有多少种可能的排法？ 知识点1　排列的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 1．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？ [提示]　关键是在安排取出的元素时是有序还是无序．有序是排列，否则不是． 2．由实数组成的排列与数列一样吗？ [提示]　不一样．由实数组成的排列中元素不能重复，而数列中的各项可以重复． 知识点2　排列数与排列数公式 排列数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 排列数公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1) 阶乘式A＝(n，m∈N*，m≤n) 全排列的概念 n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列 阶乘的概念 n·(n－1)·…·2·1称为n的阶乘，通常用n！表示，即A＝n！ 规定 0！＝1 3．排列与排列数有何区别？ [提示]　“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列． 计算 ＝ ________． 　[＝＝．] 类型1　排列的概念 【例1】　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互写信． [解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题． 判断一个具体问题是否为排列问题的标准 判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． 1．判断下列问题是不是排列问题． (1)从2,3,5,7,9中任取两数作为对数的底数与真数，可得多少个不同的对数值？ (2)空间有10个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这10个点共可组成多少个不同的四面体？ (3)某班有10名三好学生，5名后进生，班委会决定选5名三好学生对5名后进生实行一帮一活动，共有多少种安排方式？ (4)若从10名三好学生中选出5名和5名后进生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？ [解]　(1)对数的底数与真数不同，所得的结果不同，是排列问题． (2)四面体与四个顶点的顺序无关，不是排列问题． (3)选出的5名三好学生与5名后进生进行一帮一活动与顺序有关，是排列问题． (4)选出的5名三好学生与5名后进生组成一个学习小组与顺序无关，不是排列问题． 综上所述，(1)(3)属于排列问题． 类型2　写出简单问题的所有排列 【例2】　(1)从1,2,3,4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有(　　) A．9个　 B．12个　 C．15个　 D．18个 (2)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法，将它们列出来． (1)B　[用树形图表示为： 由此可知共有12个．] (2)[解]　先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步计数原理知，有4×3×2×1＝24(种)． 画出树形图． 由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBD