（讲义）第7章 7.1 第1课时 分类计数原理与分步计数原理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

7.1　两个基本计数原理 第1课时　分类计数原理与分步计数原理 1．通过实例，能归纳总结出分类计数原理、分步计数原理．(重点) 2．正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点) 3．能利用两个基本计数原理解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过两个基本计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养． 2．借助两个基本计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养． 2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口市联合举行，这是体坛的一大盛事，一名志愿者从成都赴北京为奥运会服务，从成都到北京每天有6个航班，4列火车供其选择．该志愿者从成都到北京的方案可以分为几类？在这几类中各有几种方法？该志愿者从成都到北京共有多少种不同的方法？ 知识点1　分类计数原理 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　) (2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 2．现从高二(2)班24名男生和26名女生中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为________． 50　[分两类完成：第一类从24名男生中任选1人，共有24种不同选法；第二类从26名女生中任选1人，共有26种不同选法，所以不同的选法种数为24＋26＝50．] 知识点2　分步计数原理 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　) (2)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 4．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有(　　) A．48种　 B．36种　 C．24种　 D．12种 B　[由题意可知，分三步完成： 第一步，从2种主食中任选一种有2种选法； 第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法； 第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法， 根据分步计数原理，共有2×3×6＝36种不同的选取方法，故选B．] 类型1　利用分类计数原理解题 【例1】　在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ 根据情况安排个位、十位上的数字. 先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论. [解]　法一：分析个位数，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个； 同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；…；个位是2的只有1个． 由分类计数原理知，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类计数原理知，符合题意的两位数共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出： 12,13,14,15,16,17,18,19， 23,24,25,26,27,28,29， 34,35,36,37,38,39， 45,46,47,48,49， 56,57,58,59， 67,68,69， 78,79， 89． 共有36个符合题意的两位数． [母题探究] 1．(变结论)本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数． [解]　当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个． 当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个． 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个． 同理可知，当个位数字是2时，共7个． 当个位数字是0时，共9个． 由分类计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)． 2．(变条件，变结论)用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数？ [解]　分三类： ①第一类为一位整数，有1,2,3，共3个； ②第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个； ③第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个． ∴共组成3＋6＋6＝15个无重复数字的整数． 应用分类计数原理的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事． (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法．即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的． (3