（讲义）第7章 7.1 第2课时 分类计数原理与分步计数原理的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

第2课时　分类计数原理与分步计数原理的应用 1．进一步理解和掌握分类计数原理与分步计数原理．(重点) 2．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．(重点、难点) 3．会根据实际问题的特征，合理地分类或分步．(难点、易混点) 1．借助两个基本计数原理解题，提升数学运算的素养． 2．通过合理地分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养． 类型1　组数问题 【例1】　已知0,1,2,3,4五个数字． (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ [解]　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [母题探究] 1．(变结论)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ [解]　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步，第四步，剩下的包括0在内的还有3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步计数原理共有2×3×3×2＝36个． 2．(变结论)在本例条件下，能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？ [解]　一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0,1,2,3或0,2,3,4两类．所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36个． 解决组数问题的方法 (1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解． (2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则． 1．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片，排放在一起，可组成多少个不同的三位数？ [解]　先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个，有7种选法；再排十位，从除去百位的数外剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外剩余6个数中选一个，有6种选法．由分步计数原理，共可以组成7×7×6＝294(个)不同的三位数． 类型2　选(抽)取与分配问题 【例2】　(1)两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　) A．10种　 B．15种　 C．20种　 D．30种 (2)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　) A．9　 B．10　 C．18　 D．20 (1)C　(2)C　[(1)由题意知，比赛局数最少为3局，至多为5局．当比赛局数为3局时，情形为甲或乙连赢3局，共2种情形；当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，所以共有6种情形；当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2×6＝12种．综上可知，共有2＋6＋12＝20种．故选C． (2)由于lg a－lg b＝lg，从1,3,5,7,9中取出两个不同的数分别赋值给a和b，共有5×4＝20种，而得到相同值的是1,3与3,9以及3,1与9,3两组，所以可得到lg a－lg b的不同值的个数是18，故选C．] 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类计数原理或分步计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽