（讲义）第6章 空间向量与立体几何 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

类型1　空间向量的线性运算和数量积 1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等． 2．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量． 【例1】　(1)如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝． 求证：四边形EFGH是梯形． (2)已知正四面体OABC的棱长为1，如图．求： ①·； ②(＋)·(＋)； ③|＋＋|． [解]　(1)证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴＝，＝． 则＝－＝－＝(－)＝． ∵＝－＝－＝(－)＝， ∴∥且||＝||≠||． 又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形． (2)在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1． 〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°． ①·＝||||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝． ②(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝＋2·－2·＋2－2· ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1． ③|＋＋|＝＝＝． 类型2　空间向量基本定理 空间向量基本定理是平面向量基本定理的推广，是空间向量坐标化的理论基础，其实质是空间的任意一个向量都可以用空间的一组基底来表示，用基向量表示空间向量时，仍然要应用向量运算的平行四边形法则与三角形法则． 【例2】　(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为(　　) A．0 B． C．9 D． (2)如图，已知空间四边形OABC，对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量，，表示向量． (1)D　[∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底， ∴a与b不平行，且a，b，c三个向量共面， ∴存在实数X，Y，使得c＝Xa＋Yb， 即解得λ＝．] (2)[解]　＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝＋(＋)－ ＝＋＋． 类型3　空间向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示，是解决空间向量问题的重要形式，解决此类问题，要熟记如下空间向量的坐标运算公式，设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． (1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)． (2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． (3)向量夹角： cos〈a，b〉＝． (4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)， 则||＝． (5)a∥b⇔x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2． 【例3】　已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； (2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值． [解]　(1)∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)， ∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)． ∵(λa＋b)∥(a－3b)， ∴＝＝， 解得λ＝－． (2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝． 类型4　利用空间向量证明平行、垂直问题 用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结： (1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量． (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题． 【例