（讲义）第6章 6.2 6.2.1 空间向量基本定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

6.2　空间向量的坐标表示 6.2.1　空间向量基本定理 1．了解空间向量基本定理及其意义． 2．掌握空间向量的正交分解．(难点) 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点) 1．通过基底概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb． (2)共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y，或对于空间任意一定点O，有＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． 今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理． 知识点1　空间向量基本定理 (1)条件：三个向量e1，e2，e3不共面． (2)结论：对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3． 1．长方体ABCD­A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则等于(　　) A．i＋j＋k B．i＋j＋k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k C　[＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k．] 2．已知空间三个向量a，b，c不共面，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________． 1　－1　[由m与n共线，得＝＝，∴x＝1，y＝－1．] 知识点2　基底的有关概念 定义 在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量 正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示 1．零向量能不能作为一个基向量？ [提示]　不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． 2．当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？ [提示]　唯一确定． 知识点3　空间向量基本定理的推论 (1)条件：O，A，B，C是不共面的四点． (2)结论：对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{，，}不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面． (　　) (2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量． (　　) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 类型1　基底的判断 【例1】　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． (1)C　[如图所示，令a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝． 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C．] (2)[解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立， ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面． ∴此方程组无解． 即不存在实数x，y使得＝x＋y，∴，，不共面． ∴{，，}能作为空间的一个基底． 判断一组向量作为基底的标准和方法 (1)判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 1．有以下命题： ①如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么a，b不共线； ②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面； ③已知{a，b，c}是空间