（讲义）第11章 11.3 余弦定理、正弦定理的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

11.3　余弦定理、正弦定理的应用 能综合运用余弦定理和正弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题． 1．在把现实中测量和几何计算等问题转化为解三角形问题的过程中，提升数学建模素养． 2．在用正、余弦定理解决一些简单解三角形问题的过程中，发展数学运算素养． 天文观测，航海和地理测量是人类认识自然的重要方面，解三角形的理论在其中发挥了重要作用．许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题．那么，如何利用这些关系解决实际问题？ 知识点　测量中的有关角的概念 (1)仰角和俯角：与视线在同一铅垂面内的水平线和视线的夹角．视线在水平线上方时叫仰角，视线在水平线下方时叫俯角．如图①． 图① (2)方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线所成的水平角，如图②，方向线PA，PB的位角分别为40°，240°． 图②　　　　　　　图③ (3)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫方向角，它是方位角的另一种表示形式．如图③，方向线OA，OB的方向角分别为北偏东60°，南偏西30°． 类型1　正、余弦定理在物理学中的应用 【例1】　如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力(结果精确到0.1)． [解]　如图，作＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作▱OCED， 则＝＝F1，＝F2． 由题设条件可知，||＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°． 在△OCE中，由正弦定理， 得＝， ＝， 因此，|F1|＝≈11.3 N， |F2|＝≈12.3 N． 即灯杆OA所受的力为11.3 N，灯杆OB所受的力为12.3 N． 在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解. [跟进训练] 1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知|F1|＝30 N，|F2|＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)． [解]　F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得 |F|＝＝70(N)， 再由正弦定理，得 sin∠F1OF＝＝， 所以∠F1OF≈38.2°， 从而∠F1OF3≈141.8°． 即F3的大小为70 N，F3和F1间的夹角为141.8°． 类型2　正、余弦定理在几何中的应用 【例2】　如图，在△ABC中，B＝，AC＝2，cos C＝． (1)求sin∠BAC的值； (2)设BC的中点为D，求中线AD的长． [解]　(1)因为cos C＝，且C是三角形的内角， 所以sin C＝＝＝． 所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C) ＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝×＋×＝． (2)在△ABC中，由正弦定理得， ＝，则 BC＝×sin∠BAC＝×＝6， 所以CD＝BC＝3． 又在△ADC中，AC＝2，cos C＝， 所以由余弦定理得， AD＝ ＝＝． 三角形中几何计算问题的解题思路 (1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决． (2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件． [跟进训练] 2．如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2． (1)求cos∠CBE的值； (2)求AE． [解]　(1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°． 所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝． (2)在△ABE中，AB＝2， 由已知和(1)知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°， ∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°， 由正弦定理，得＝， ∴AE＝＝＝－． 类型3　正、余弦定理在测量学中的应用 　测量距离问题 【例3】　某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a(km)的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离． [解]　法一：∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°． ∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°， ∴AD＝CD＝a(km)． 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得＝， 得BD＝CD· ＝a·＝a(km)． 在△ADB中，由余弦定理得