（讲义）第11章 11.2 第1课时 正弦定理(1)-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

11.2　正弦定理 第1课时　正弦定理(1) 1．掌握正弦定理及其证明方法．(难点) 2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决一些简单的解三角形问题和三角形形状的判断．(重点) 1．通过向量的数量积推证正弦定理，提升数学抽象素养． 2．在用正弦定理处理解三角形问题中，发展数学运算素养． 如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？对于斜三角形类似关系成立吗？ 知识点1　正弦定理 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即＝＝． (1)正弦定理的适用范围是什么？ (2)正弦定理的主要功能是什么？ [提示]　(1)正弦定理对任意三角形都成立． (2)正弦定理实现了三角形中边角关系的转化． 1．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　) A． B． C． D． C　[由正弦定理得，＝，所以＝．] 知识点2　应用正弦定理解三角形 应用正弦定理可以解两类三角形： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角． 2．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　) A．5 B．10 C． D．5 B　[由正弦定理得，b＝＝＝10．] 类型1　定理证明 【例1】　在钝角△ABC中，∠A为钝角，证明正弦定理． [证明]　如图，过C作CD⊥AB， 垂足为D， D是BA延长线上一点， 根据正弦函数的定义知： ＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B． ∴CD＝bsin A＝asin B． ∴＝． 同理，＝． 故＝＝． 用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固． [跟进训练] 1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理． [解]　如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，即＝2R，同理＝2R，＝2R， 所以＝＝＝2R． 类型2　用正弦定理解三角形 【例2】　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c． [解]　∵A＝30°，C＝45°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 又由正弦定理得：c＝＝10． b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)． ∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10． 正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． [跟进训练] 2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a． [解]　由正弦定理得：sin C＝＝＝， ∵c>b,0°<C<180°， ∴C＝45°或135°． 当C＝45°时，A＝105°， a＝＝＝＋1； 当C＝135°时，A＝15°， a＝＝＝－1． 综上，得A＝105°，C＝45°，a＝＋1或A＝15°，C＝135°，a＝－1． 类型3　三角形形状的判断 【例3】　在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． [解]　法一(利用角的互余关系)：∵sin2A＝sin2B＋sin2C， 根据正弦定理＝＝， 得a2＝b2＋c2， ∴A是直角，B＋C＝90°， ∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1， ∴sin B＝． ∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二(利用角的互补关系)：∵sin2A＝sin2B＋sin2C， 根据正弦定理＝＝， 得a2＝b2＋c2，∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0． 又－90°<B－C<90°， ∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC是等腰直角三角形． [母题探究] (变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acos C”，其它条件不变，试判断△ABC的形状． [解]　∵b＝acos C， 由正弦定理，得sin B＝sin Acos C．(*) ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为 sin(A＋C)＝sin Acos C． ∴cos Asin C＝0． 又∵A，C∈(0，π)， ∴cos A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形． 利用正弦定理判断三角形形状的两种途径 (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (