（讲义）第11章 11.2 第2课时 正弦定理(2)-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

第2课时　正弦定理(2) 1．能够熟练应用正弦定理及其变形形式解决三角形中的问题， 能根据条件，判断三角形解的个数．(重点、难点) 2．掌握正弦定理及其证明方法，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点) 1．通过向量的数量积推证正弦定理，提升数学抽象素养． 2．在用正弦定理处理解三角形问题中，发展数学运算素养． 在△ABC中，分别根据所给条件作图，求满足条件的△ABC的个数． (1)∠A＝60°，b＝4，a＝2， (2)∠A＝60°，b＝4，a＝3． 若∠A＝60°，b＝4，a为何值时，作出的三角形是唯一的？ 知识点1　解三角形的类型 (1)已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定． (2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况． 如已知两边a，b和a的对角A，解的情况如表． A> A＝ A< a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中无解的是________；有一解的是________；有两解的是________． ①a＝7，b＝3，B＝30°； ②b＝6，c＝5，B＝45°； ③a＝15，b＝10，B＝120°； ④b＝6，c＝6，C＝60°． ①③　④　②　[对于①，由正弦定理，得sin A＝sin B＝sin 30°＝>1，所以此三角形无解； 对于②，由正弦定理，得sin C＝sin B＝sin 45°＝<1，且c>b，所以此三角形有两解； 对于③，由正弦定理，得sin A＝sin B＝sin 120°＝>1，所以此三角形无解； 对于④，由正弦定理，得sin B＝sin C＝<1，且c>b，所以B<C，B＝30°，A＝90°，所以此三角形只有一解．] 知识点2　三角形的面积公式 任意三角形的面积公式 (1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． (4)S△ABC＝，其中p为△ABC的半周长，即p＝(a＋b＋c)．该公式称为海伦－秦九韶公式，适用于三角形三边为有理数时，计算三角形的面积比较简便． 2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　) A．3 B．3 C．6 D．6 B　[由S＝absin C＝×4×3×，得S＝3，故选B．] 类型1　三角形解的个数的判断 【例1】　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2，b＝6，A＝30°． [解]　(1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， 讨论如下： ∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10， ∴a<bsin A， ∴本题无解． (2)a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A， ∴bsin A<a<b， ∴三角形有两解． 由正弦定理得sin B＝＝＝， 又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°． 当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4； 当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2． ∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4； B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2． 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值，或者根据该正弦值不等于1时在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求. [跟进训练] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝5，A＝． (1)若a＝7，求c的值； (2)记＝k． ①当k为何值时，△ABC有解？ ②写出一个满足条件的k值，使得△ABC有两解． [解]　(1)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋c2－5c＝49， 则c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)， 所以c＝8． (2)①由正弦定理得＝＝sin C． 因为0<C<，所以0<sin C≤1， 所以k＝sin C∈， 所以当k∈时，△ABC有解． ②如图，当点B在线段AB1和线段