（讲义）第10章 10.3 几个三角恒等式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

10.3　几个三角恒等式 1．通过积化和差公式的推导，经历数学探索和发现的过程，激发数学兴趣．(重点) 2．通过积化和差公式、和差化积公式、半角公式、万能公式的简单应用，提高三角变换的能力．(重点、难点) 1．通过积化和差公式的推导，提升逻辑推理素养． 2．由三角函数式的化简、求值及恒等式证明，提升数学运算素养． 前面，我们学习了两角和与差的正余弦公式： S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， ① S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， ② C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， ③ C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． ④ 由①②能得出sin αcos β及cos αsin β吗？ 由③④能得出cos αcos β及sin αsin β吗？ 知识点1　积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式 sin α＋sin β＝2sin cos ， sin α－sin β＝2cos sin ， cos α＋cos β＝2cos cos ， cos α－cos β＝－2sin sin ． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B． (　　) (2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin Acos B． (　　) (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－cos2β． (　　) [提示]　(1)正确． (2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin Asin B． (3)cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)＝cos2α-sin2β． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 知识点2　半角公式与降幂公式 半角公式 降幂公式 sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±， tan ＝＝ sin2α＝， cos2α＝， tan2α＝ 拓展：万能公式： 设tan ＝t，则sin α＝，cos α＝，tan α＝． 2．若cos α＝－，且π＜α＜，则cos ＝________． －　[∵π＜α＜，∴＜＜， ∴cos＝－＝－．] 3．若tan ＝3，则cos α＝________． －　[∵tan2＝＝9，∴cos α＝－．] 类型1　应用和差化积或积化和差求值 【例1】　求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50° 的值． [解]　原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°) ＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－ ＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70° ＝－sin 70°＋sin 70° ＝． 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来. [跟进训练] 1．(1) sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝(　　) A． B． C． D．1 (2)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值． (1)C　[原式＝sin 20°－sin 80°＋sin 40°＋sin 60°＝2cos 50°sin(－30°)＋cos 50°＋sin 60°＝sin 60°＝．] (2)[解]　∵cos α－cos β＝， ∴－2sinsin＝． ① 又∵sin α－sin β＝－， ∴2cossin＝－． ② ∵sin≠0， ∴由①②，得－tan＝－， 即tan＝． ∴sin(α＋β)＝＝＝＝． 类型2　万能代换公式的应用 【例2】　设tan ＝t，求证：＝(t＋1)． 利用万能代换公式，分别用t表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明. [证明]　由sin θ＝及cos θ＝，得1＋sin θ＝＝， 1＋sin θ＋cos θ＝＝， 故＝(t＋1)． 在万能代换公式中不论α的哪种三角函数包括sin α与cos α都可以表示成有关tan的“有理式”，令tan＝t，代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值. [跟进训练] 2．已知cos θ＝－，且180°