（讲义）第9章 9.4 向量应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

9.4　向量应用 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．(重点) 1．通过运用向量知识解决现实生活中的问题，发展数学建模素养． 2．在运用向量的方法解决数学问题的过程中，发展逻辑推理和数学运算素养． 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ．证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 2． 物理中的量如力、速度、加速度、位移和向量有什么关系？物理学中的力、速度、加速度、位移的合成和分解是向量的什么运算？ 知识点　向量的应用 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (2)向量在物理中的应用 ①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则． ②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积． (3)向量在平面解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0． (　　) (2)若∥，则直线AB与CD平行． (　　) (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多． (　　) [提示]　(1)可能·＝0或·＝0，故错误． (2)∥，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误． (3)W＝F·s＝|F|·|s|cos θ，故错误． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．已知△ACB，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 [答案]　A 3．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4,0)，则力F对物体做的功为_____________． [答案]　4 类型1　向量在物理中的应用 【例1】　如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小． [解]　如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°． 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°．||＝||cos 30°＝300×＝150(N)，||＝||sin 30°＝×300＝150(N)． 故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N． 1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成． 2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型． [跟进训练] 1．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)． (1)求F1，F2分别对质点所做的功； (2)求F1，F2的合力F对质点所做的功． [解]　(1)＝(－13，－15)， W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99， W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3． ∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3． (2)W＝F·＝(F1＋F2)· ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102． ∴合力F对质点所做的功为－102． 类型2　向量在平面几何中的应用 【例2】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE． [解]　法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0， 故⊥，即AF⊥DE． 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE． 向量法证明平面几何问题的方法 (1)向量的线性运算法 →→ → (2)向量的坐标运算法 →→ → 但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用． [跟进训练] 2．已知P，Q分别是梯形ABCD的对角线