（讲义）第9章 9.3 9.3.3 向量平行的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

9.3.3　向量平行的坐标表示 1．理解两向量平行的坐标表示．(重点) 2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关问题．(重点、难点) 1．在推导、证明向量平行的坐标表示及运用其证明向量平行的过程中，发展逻辑推理素养． 2．在运用向量平行的坐标表示求值的过程中，发展数学运算素养． 如果向量a，b共线(其中b≠0)，那么a，b满足什么关系？如何用坐标表示两个共线向量？ 知识点　向量平行的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b． 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？ [提示]　坐标不为0时成正比例． 1．下列各组向量中，共线的是(　　) A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4) D　[∵在D中，b＝(6，－4)，a＝(－3,2)， ∴b＝－2(－3,2)＝－2a， ∴a与b共线．] 2．若a＝(2,3)，b＝(x,6)，且a∥b，则x＝______． 4　[∵a∥b，∴2×6－3x＝0，即x＝4．] 类型1　向量平行的判定 【例1】　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断与是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？ [解]　∵A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)， ∴＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)． ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0， ∴与平行且方向相反． 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断. 提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配. [跟进训练] 1．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥ ． [证明]　设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 依题意有，＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)． ∵＝， ∴(x1＋1，y1)＝(2,2)， ∴点E的坐标为， 同理点F的坐标为， ∴＝． 又×(－1)－4×＝0， ∴∥． 类型2　利用向量共线求参数的值 【例2】　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [解]　法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以解得k＝λ＝－． 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行， 这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， 因为λ＝－<0， 所以ka＋b与a－3b反向． 法二：由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)． 因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得k＝－． 这时ka＋b＝＝－(a－3b)． 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． 2．利用x1y2－x2y1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征． [跟进训练] 2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值． [解]　因为a＝(1,1)，b＝(2，x)， 所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)， 由a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2． 类型3　共线向量与定比分点公式 【例3】　已知两点A(3，－4)，B(－9，2)在直线AB上，求一点P使||＝||． 以A、B、P三点共线及||＝||为切入点，思考与的关系，进而求出点P的坐标. [解]　设点P的坐标为(x，y)， ①若点P在线段AB上， 则＝， ∴(x－3，y＋4)＝(－9－3,2＋4)， 解得x＝－1，y＝－2， ∴P(－1，－2)． ②若点P在线段BA的延长线上， 则＝－， ∴(x－3，y＋4)＝－(－9－3,2＋4)， 解得x＝7，y＝－6， ∴P(7，－6)． 综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)． [母题探究] 1．(变结论)本例条件不变，给出点P(k,12)，当k为何值时，P，A，B三点共线． [解]　＝(k－3,16)，＝(－12,