（讲义）第9章 9.3 9.3.2 第1课时 向量的坐标表示、向量线性运算的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

9.3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量的坐标表示、向量线性运算的坐标表示 1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点) 2．掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算．(重点、难点) 1．在推导、理解向量及其线性运算的坐标表示的过程中，发展直观想象素养． 2．在进行向量坐标形式下的线性运算的过程中，发展数学运算素养． 平面内建立了直角坐标系，点A可以用什么来表示？平面向量也有类似的表示？ 知识点1　向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj．我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)． 1．在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？ [提示]　对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不相同． (　　) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 知识点2　向量线性运算的坐标表示 (1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． (2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标． 2．设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？ [提示]　a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j． 2．若A(2，－1)，B(－1,3)，则的坐标是(　　) A．(1,2)　　　　 B．(－1，－2) C．(－3,4) D．(3，－4) C　[＝－＝(－1,3)－(2，－1)＝(－3,4)．] 3．若a＝(－1,2)，b＝(3,4)，则a＋b＝______；a－b＝________；3a＝__________；－5b＝________． [答案]　(2,6)　(－4，－2)　(－3,6)　(－15，－20) 类型1　平面向量的坐标表示 【例1】　在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标． [解]　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°， 所以a1＝|a|cos 45°＝4×＝2，a2＝|a|sin 45°＝4×＝2． 可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°， 所以b1＝|b|cos 120°＝3×＝－， b2＝|b|sin 120°＝3×＝． 故a＝(2，2)，b＝． 求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算. [跟进训练] 1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标． [解]　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则 a1＝|a|cos 45°＝2×＝， a2＝|a|sin 45°＝2×＝； b1＝|b|cos 120°＝3×＝－， b2＝|b|sin 120°＝3×＝； c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2， c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2． 因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)． 类型2　平面向量的坐标运算 【例2】　已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1，8)，求，，＋，2＋． [解]　∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)， ∴＝(3，－1)，＝(－3,2)， ∴＋＝(0,1)， 2＋＝(6，－2)＋＝． 平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数