（讲义）第9章 9.3 9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

第2课时　向量数量积的坐标表示 1．掌握向量数量积的坐标表示，并会简单应用．(重点) 2．掌握向量的长度、夹角公式和向量垂直的坐标表示．(重点、难点) 1．在推导向量数量积的坐标表示的过程中，发展逻辑推理素养． 2．在运用向量数量积的坐标表示求向量的数量积、夹角的过程中，发展数学运算素养． 设i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的单位向量．i·i，j·j，i·j分别是多少？取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b． 知识点1　平面向量数量积的坐标运算 若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝(　　) A．1　　　　　　 B．－1　　　　 C．5 D．－5 B　[∵a＝(1，－1)，b＝(2,3)， ∴a·b＝1×2－3＝－1．] 2．已知a＝(－2，x)，b＝(0,1)，若a·b＝3，则x＝________． 3　[∵a＝(－2，x)，b＝(0,1)，∴a·b＝x＝3．] 知识点2　向量的长度、夹角、垂直的坐标表示 (1)向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝． (2)向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝＝ ． 特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b． 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？ [提示]　∵＝－＝(x2－x1，y2－y1)， ∴||＝． 3．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则|a|＝________，a与b的夹角为________． 5　　[∵a·b＝－15，|a|＝＝5，|b|＝3， ∴cos θ＝＝＝－， 又θ∈[0，π]，∴θ＝．] 4．已知a＝(3,1)，b＝(x，－5)，若a⊥b，则x＝________． 　[∵a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－5＝0，∴x＝．] 类型1　数量积的坐标运算 【例1】　已知a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求： (1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c． [解]　(1)a·b＝1×2＋3×5＝17． (2)∵a＋b＝(3,8)，2a＋b＝(4,11)， ∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100． (3)(a·b)·c＝17c＝(34,17)． 利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解. [跟进训练] 1．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10． (1)求a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c． [解]　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a·(b·c)＝0·a＝0， (a·b)·c＝10×(2，－1)＝(20，－10)． 类型2　向量的夹角 【例2】　已知A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值． [解]　∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)， ＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)， ∴·＝3×(－1)＋3×6＝15． 又||＝＝3， ||＝＝， ∴cos∠BAC＝＝＝． 已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a·b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小. [跟进训练] 2．已知向量a，b，|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b． (1)求向量a的坐标； (2)求向量a与b的夹角． [解]　(1)设a＝(x，y)，因为|a|＝， 所以＝． ① 因为b＝(1，－3)， 所以2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)， 又(2a＋b)⊥b， 所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0． ② 由①②解得或 所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)． (2)设向量a与b的夹角为θ， 当a＝(1,2)时， cos θ＝＝＝－， 当a＝(－2,1)时， cos θ＝＝＝－． 因为0≤θ≤π， 所以向量a与b的夹角θ＝． 类型3　向量垂直的综合应用 【例3】　已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||． [解]　法一：设点D坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)