（讲义）第9章 9.2 9.2.3 向量的数量积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

9.2.3　向量的数量积 1．了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念．(易错点) 2．理解平面向量数量积的含义．(重点) 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点) 1．通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过数量积的应用，培养数学运算素养． 我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ． (1)显然， 功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ (2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由． 知识点1　向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 1．(1)两个向量的数量积是向量吗？ (2)数量积的大小和符号与哪些量有关？ [提示]　(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量． (2)数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定． 1．已知|a|＝3，|b|＝6，则 (1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________； (2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________； (3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________． (1)18　(2)9　(3)0　[(1)a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18． (2)a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝＝9． (3)a·b＝|a||b|cos 90°＝3×6×0＝0．] 知识点2　两个非零向量的夹角公式 两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ＝ 求得． 2．试指出图中向量的夹角． 图①中向量与的夹角是________； 图②中向量与的夹角是________； 图③中向量与的夹角是________； 图④中向量与的夹角是________． [答案]　θ　0°　180°　θ 知识点3　投影向量 设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量． (1)　　　　　　　(2) 所以＝(|a|cos θ)，a·b＝·b． 投影向量与向量数量积的关系：向量a和向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 3．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影向量为______；b在a上的投影向量为______． b　 a　[a在b上的投影向量为(|a|cos θ)＝(3cos 45°)＝b；b在a上的投影向量为(|b|cos θ)＝(5cos 45°)＝a．] 知识点4　向量的数量积的运算律及性质 (1)向量数量积的运算律： 已知向量a，b，c和实数λ． ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (2)数量积的性质： ①a·a＝|a|2或|a|＝； ②|a·b|≤|a||b|，当且仅当向量a，b为共线向量时取“＝”号； ③a⊥b⇔a·b＝0．(向量a，b均为非零向量) 2．向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ [提示]　向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量． 4．(多选题)对于向量a，b，c，下列命题错误的是(　　) A．若a·b＝0且a≠0，则b＝0 B．若|a|2＝|b|2≠0，则a＝b或a＝－b C．若a·b＝b·c且a，b，c均为非零向量，则a＝c D．若a，b，c均为非零向量，则(a·b)c－a(b·c)＝0 ABCD　[若a·b＝0，则a，b至少有一个为零向量，或者a⊥b，故A错；若|a|2＝|b|2≠0，则a，b均为非零向量且a，b的模相等，不能推出a，b方向相同或相反，故B错；若a⊥b，b⊥c，则a·b＝b·c＝0，此时a，c均与b垂直，无法推出a＝c，故C错；(a·b)c是与c共线的向量，a(b·c)是与a共线的向量，(a·b)c－a(b·c)＝0不一定成立，故D错．] 类型1　向量数量积的运算 【例1】　已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3． (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5． (3)(