（讲义）第9章 9.2 9.2.1 第1课时 向量的加法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

9.2　向量运算 9.2.1　向量的加减法 第1课时　向量的加法 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量运算．(重点、难点) 1．在运用向量加法的三角形法则与平行四边形法则的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 2．在验证向量加法运算律的过程中，提升逻辑推理素养． 如图所示，假设某人上午从点A到达了点B，下午从点B到达了点C． (1)分别用向量表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天的位移； (2)这一天的位移与上午的位移、下午的位移有什么联系？试从大小和方向两个角度加以阐述． 知识点1　向量的加法 (1)向量加法的定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法． (2)向量加法的运算法则 ①三角形法则： 如图，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝．这个法则称为向量加法的三角形法则． ②平行四边形法则： 如图，已知两个不共线的非零向量a，b，作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量＝a＋b，这个法则叫作向量加法的平行四边形法则． 向量的三角形法则和平行四边形法则是否对任意两个向量的加法都适用？ [提示]　向量的三角形法则对任意两个向量的加法都可以适用；向量的平行四边形法则仅适用两个不共线的非零向量． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量相加就是两个向量的模相加． (　　) (2)两个向量相加，结果有可能是个数量． (　　) (3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加． (　　) [提示]　(1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合不共线的非零向量相加． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选题)如图，下列各式中，正确的是(　　) A．a＋b＝c B．a＋b＋d＝f C．f＋e＝g D．c＋d＋f＝0 ABC　[由向量加法的三角形法则可知，ABC均正确，又c＋d＝f，∴c＋d＋f＝f＋f≠0，故选ABC．] 知识点2　向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)a＋0＝0＋a＝a． (4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． 3．(＋)＋(＋)＋＝________． 　[(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝．] 类型1　向量加法的三角形法则和平行四边形法则 【例1】　如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c． [解]　法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即为a＋b＋c(用到向量加法运算律)． 如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求． ①　　　　　　　② 法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②， (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b； (2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b； (3)再作向量＝c； (4)作▱CODE，则＝＋c＝a＋b＋c． 则即为所求． 1．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系： 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 2．向量加法的多边形法则 若n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线的起点到终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝． [跟进训练] 1．如图所示，求作向量和． (1)　　　　(2)　　　　　(3) [解]　如图中(1)，(2)所示， 　 图(1)　　 　图(2)　　　　图(3) 首先作＝a，然后作＝b， 则＝a＋b． 如图(3)所示， 作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c． 类型2　向量的加法运算 【例2】　(1)在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________． (2)＋＋＋＋＝________． (1)2a＋b　2a＋2b　a＋2b　(2)0　[(1)如图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形． 根据向量的平行四边形法则，有＝＋＝a＋b． 在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b，＝＋＝＋