（讲义）第9章 9.2 9.2.1 第2课时 向量的减法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

第2课时　向量的减法 1．巩固向量加法的运算． 2．掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义．(重点) 1．通过对向量减法的几何意义的理解，提升直观想象素养． 2．通过向量的加、减法运算，发展数学运算素养． 已知向量是与a的和，如图所示，你能作出表示向量a的有向线段吗？ 知识点　向量的减法 (1)向量减法的定义 若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)向量的减法法则 如图所示，以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b． 向量的加法三角形法则和减法三角形法则有什么不同？类比实数的减法，a－b＝ a＋(－b)是否一定恒成立？ [提示]　向量的加法三角形法则对任意两个向量首尾相接，第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是它们的和向量；向量的减法三角形法则，对任意两个向量同起点，由减向量的终点指向被减向量的终点的向量就是它们的差向量；类比实数的减法， a－b＝a＋(－b)一定恒成立． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－＝． (　　) (2)若－b与a同向，则a－b与a同向． (　　) (3)向量的减法不满足结合律． (　　) [提示]　(1)错误，－＝． (2)正确，－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向． (3)错误，如(a－b)＋c＝a＋(c－b)． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．化简－＋等于________． 0　[－＋＝＋＝0．] 3．化简－＋＋的结果等于________． 　[－＋＋＝＋＋－＝＋＝．] 类型1　向量减法的几何作图 【例1】　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c． [解]　法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可． 如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b，连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量．则向量即为所求作的向量a－b－c． ①　　　　　　　　② 法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②． (1)作＝－b和＝－c； (2)作＝a，则＝a－b－c． 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合，再作出差向量. [跟进训练] 1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c． [解]　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c． 类型2　向量减法法则的应用 【例2】　(1)化简下列式子： ①－－－； ②(－)－(－)． (2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，． [解]　(1)①原式＝＋－(＋)＝－＝0． ②(－)－(－) ＝－－＋ ＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋＝0． (2)因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， 故＝＋＝b－a＋c． 1．向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． 2．用几个基本向量表示其他向量的技巧 ①观察待表示的向量位置； ②寻找相应的平行四边形或三角形； ③运用法则找关系，化简得结果． [跟进训练] 2．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示： (1)－；(2)＋； (3)－． [解]　(1)－＝＝－， ∵＝d，＝b，∴－＝d－b． (2)∵＋＝(－)＋(－)， ∵＝a，＝b，＝c，＝f， ∴＋＝b＋f－a－c． (3)－＝＝－， ∵＝f，＝d，∴－＝f－d． 类型3　|a－b|与a，b之间的关系 【例3】　已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|． 结合向量加、减的运算法则，你能发现向量a，b间存在怎样的位置关系？如何借助该关系求得|a－b|？ [解]　如图，设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD．则＝a＋b，＝a－b， 因为|a＋b|＝|a－b|， 所以||＝||． 又四边形ABCD为平行四边形， 所以四边形ABCD为矩形． 故AD⊥AB． 在Rt△DAB中，||＝6，||＝8， 由勾股定理得||＝＝＝10，所以|a－b|＝10． 1．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住． 2．若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形是矩形． [跟进训练] 3．已知向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，|a＋