（讲义）第9章 9.1 向量概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

9.1　向量概念 1．了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．(重点) 2．理解平面向量的几何表示和基本要素．(重点) 3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、向量夹角等概念． (重点、难点) 1．在由现实生活(物理)情境抽象出向量概念的过程中，发展数学抽象素养． 2．在理解向量的几何表示与平行向量(共线向量)等概念的过程中，发展直观想象素养． 1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图)． 2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ＝43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35 m/s． 那么，上述实例中的“位移”“速度”“力”与生活中我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？如何表示上述既有大小又有方向的量？ 知识点1　向量的定义及表示 定义 既有大小又有方向的量叫作向量 表示方法 (1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为； (2)字母表示：用小写字母a，b，c来表示 模 向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|| 1．定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特征？只描述其中一个方面可以吗？ [提示]　向量不仅有大小而且有方向，其中大小描述了向量的代数特征，方向描述了向量的几何特征，两者缺一不可，故不能只描述其中一个方面． 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有________．(填序号) ①⑥⑦⑧　[一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．] 知识点2　向量的有关概念及其表示 名称 定义 表示方法 零向量 长度为0的向量 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量 a与b平行(或共线)，记作a∥b 相同的向量(相等向量) 长度相等且方向相同的向量 a与b相等，记作a＝b 相反向量 长度相等且方向相反的向量 a的相反向量记作－a 2．(1)零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？ (2)已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？ (3)向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ [提示]　(1)零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线． (2)因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线． (3)不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有向线段就是向量． (　　) (2)两个向量的模能比较大小． (　　) (3)有向线段可以用来表示向量． (　　) (4)若a＝b，b＝c，则a＝c． (　　) (5)单位向量的模都相等． (　　) (6)若a∥b, b∥c，则a∥c． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 知识点3　两个向量的夹角 对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b, ∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角． 当θ＝0°时，a与b同向； 当θ＝180°时，a与b反向； 当θ＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b． 3．(1)两个非零向量a和b的夹角的范围是________； (2)在正△ABC中，和的夹角为________． (1)[0°，180°]　(2)120°　[(1)两个非零向量a和b的夹角的范围是[0°，180°]． (2)研究两个向量的夹角必须平移至同一起点，所以和的夹角为120°．] 类型1　向量的概念 【例1】　判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)任何两个单位向量都是平行向量； (2)零向量的方向是任意的； (3)在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量与是平行向量； (4)对于向量a，b，c，若a∥b，且b∥c，则a∥c； (5)若非零向量与是平行向量，则直线AB与直线CD平行； (6)非零向量与是模相等的平行向量． [解]　(1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位长度，方向不一定相同或相反． (2)正确．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的． (3)正确