（练习）课时分层作业31 直线与平面垂直-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(三十一)　直线与平面垂直 一、选择题 1．直线a和b在正方体ABCD­A1B1C1D1中的两个不同平面内，下列使a∥b成立的条件个数是(　　) ①a和b垂直于正方体的同一个平面； ②a和b在正方体两个相对的面内，且共面； ③a和b平行于同一条棱； ④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． A．1 B．2 C．3 D．4 C　[①②③一定能使a∥b成立，④不一定使a∥b成立，例如在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥AB，BC⊥AB，显然AA1与BC不平行．] 2．三棱锥S­ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，点D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为(　　) A． B． C． D． C　[如图，在三角形SAB中，过点A作AE⊥SB交SB于点E．因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC．又AB⊥BC，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE，又AE⊥SB，且BC∩SB＝B，所以AE⊥平面SBC．在三角形SAB中，由勾股定理易得SB＝5，则由等面积法可得AE＝．因为点D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为AE＝．故选C． ] 3．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是(　　) A．平行四边形 　 B．矩形 C．正方形　 D．菱形 D　[如图，∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD． ∵PC⊥BD，且PA∩PC＝P， ∴BD⊥平面PAC， ∴AC⊥BD． ∴平行四边形ABCD是菱形．] 4．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1，M，N分别为A1D，D1B的中点，则(　　) A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 A　[连接AD1(图略)，则易得点M在AD1上，且AD1⊥A1D．因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，所以A1D⊥平面ABD1，所以A1D与BD1异面且垂直．在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，所以MN∥平面ABCD．易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，所以MN与平面BB1D1D不垂直．所以选项A正确．故选A．] 5．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° A　[取AC的中点D，连接DB，C1D，则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角，在△ABC中，易得BD＝． 在△DCC1中，易得DC1＝， 在Rt△BC1D中，tan∠BC1D＝＝， 即∠BC1D＝30°．] 二、填空题 6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________． 4　[如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD． ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，且PA∩PD＝P， ∴BC⊥平面PAD， ∴AD⊥BC． 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4， 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4，即P到BC的距离为4．] 7．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为________． 垂直　[∵AA1⊥平面ABC， ∴BC⊥AA1， ∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB， 又AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面AA1B1B， 又AM⊂平面AA1B1B， ∴AM⊥BC．] 8．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________． 2　[∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥QD． 又∵PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P， ∴QD⊥平面PAQ， ∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2．] 三、解答题 9．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD． (1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD． [证明]　(1)设AC∩BD＝H，连接EH． 在△ADC中， 因为AD＝CD，且DB平分∠ADC， 所以H为AC的中点． 又由题设，E为PC的中点， 故EH∥PA， 又EH⊂平面BDE， 且PA⊄平面BDE， 所以PA∥平面BDE． (2)因为PD⊥平面ABCD， AC⊂平面ABC