（练习）课时分层作业29 空间两条直线的位置关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(二十九)　空间两条直线的位置关系 一、选择题 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角为60°的直线的条数为(　　) A．2 B．4 C．5 D．6 B　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1C1，BC1(图略)，则△A1BC1是等边三角形，可得∠C1A1B＝∠C1BA1＝60°，因为AC∥A1C1，所以AC与A1B夹角为60°且异面，因为AD1∥BC1，所以AD1与A1B夹角为60°且异面，同理可得D1B1，B1C与A1B夹角为60°且异面，所以与直线A1B异面且夹角为60°的直线有AD1，AC，D1B1，B1C共4条，故选B．] 2．在三棱锥S­ABC中，与SA异面直线的是(　　) A．SB B．SC C．BC D．AB C　[如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线． ] 3．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线条数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．无数 D　[l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．] 4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形具体的形状是(　　) A．平行四边形 　 B．矩形 C．梯形　 D．正方形 B　[易证四边形EFGH为平行四边形，∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF∥AC， 又FG∥BD， ∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°， ∴∠EFG＝90°， 故四边形EFGH为矩形．] 5．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE，B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° C　[CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故A、B错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故D错．] 二、填空题 6．如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________． 18　[连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连接EF．由题意知，＝＝， ∴EF＝×6＝9， ∴BD＝2EF＝18．] 7．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________． ∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　[因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1中AA1∥DD1，又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．] 8．如图，过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条． 4　[连接AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．] 三、解答题 9．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形． [证明]　如图，设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1． ∵E是AA1的中点， ∴EQA1D1． 又在矩形A1B1C1D1中， A1D1B1C1， ∴EQB1C1， ∴四边形EQC1B1为平行四边形， ∴B1EC1Q． 又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点， ∴QDC1F， ∴四边形DQC1F为平行四边形， ∴C1QDF． 又∵B1EC1Q，∴B1EDF， ∴四边形B1EDF是平行四边形． 10．在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长． [解]　取BC中点G．连接GE，GF．∵E，F分别是AB，CD的中点，∴EG∥AC，GF∥BD，GE＝AC＝，GF＝BD＝， ∴BD，AC所成的角是∠EGF(或其补角)，若∠EGF＝60°，则EF＝GE＝， 若∠EGF＝120°，则EF＝2GFsin 60°＝2××＝． ∴EF的长为或． 11．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论： ①AB⊥EF； ②AB与CM所成的角为60°； ③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD． 其中正确的是(　　) A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ A　[把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如