（练习）课时分层作业19 余弦定理、正弦定理的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十九)　余弦定理、正弦定理的应用 一、选择题 1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为(　　) A．12 m B．8 m C．3 m D．4 m D　[由题意知，A＝B＝30°， 所以C＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，＝， 即AB＝＝＝4(m)．] 2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a．则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ D　[由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．] 3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为(　　) A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m C　[如图，设O为顶端在地面的射影， 在Rt△BOD中，∠ODB＝30°， OB＝20，BD＝40，OD＝20， 在Rt△AOD中， OA＝OD·tan 60°＝60， ∴AB＝OA－OB＝40(m)．] 4．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° B　[∵AD2＝602＋202＝4 000， AC2＝602＋302＝4 500， 在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝＝，∠CAD∈(0°，180°)，∴∠CAD＝45°．] 5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m D　[设建筑物的高度为h，由题图知， PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理， 得cos∠PBA＝， ① cos∠PBC＝． ② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0． ③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m．] 二、填空题 6．如图，在铁三角架△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3 m，AD＝3 m，则BD＝________ m． 　[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD) ＝cos∠BAD＝， ∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， ∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3， ∴BD＝．] 7．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于________ m． 120(－1)　[由题意可知，AC＝＝120． ∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝． 在△ABC中，由正弦定理得＝， 于是BC＝＝＝120(－1)(m)．] 8．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为60°，四边形CDEF为该扇形的内接矩形，其中边CD在OA上，则该矩形面积的最大值为________． 　[连接OE(图略)，设∠EOA＝θ，0°<θ<60°，由题意可得矩形的一边DE＝OEsin θ＝2sin θ．在△OEF中，由正弦定理得＝，所以EF＝sin(60°－θ)．故内接矩形CDEF的面积为DE×EF＝2sin θ×sin(60°－ θ)＝sin θ×sin(60°－ θ)＝sin θ×＝×＝×＝－＝cos(2θ－60°)－，故当cos(2θ－60°)最大时，内接矩形CDEF的面积最大．而cos(2θ－60°)的最大值为1，此时θ＝30°，故内接矩形CDEF的面积最大值为．] 三、解答题 9．如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形ABCD内种植了两种花卉，其中△ABD区域内种植兰花，△BCD区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知AB＝60 m，BC＝20 m，AD＝CD＝40 m． (1)求观赏小道BD的长及四边形ABCD的面积； (2)为使种植兰花的面积有所增加，需要对种植区域进行改造．因地理条件限制，种植丁香花的边界BC