（练习）课时分层作业18 正弦定理(2)-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十八)　正弦定理(2) 一、选择题 1．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则(　　) A．b＝1，c＝ B．b＝，c＝1 C．b＝，c＝1＋ D．b＝1＋，c＝ A　[∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝．] 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若满足条件a＝3，A＝60°的三角形有两个，则b的取值范围是(　　) A．(2,3) B．(3,3) C．(3,2) D．(2，2) C　[当bsin A<a<b时，三角形有两解，即b<3<b，解得3<b<2，故选C．] 3．托勒密定理是以天文学家托勒密的名字命名的，该定理的意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，BD＝4，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为(　　) A．8 B．16 C．8 D．16 C　[如图，设AC＝AD＝CD＝a，由托勒密定理可知AB·CD＋AD·BC＝AC·BD， 即a·AB＋a·BC＝a·BD，所以AB＋BC＝BD＝4．又∠ABD＝∠ACD＝，∠CBD＝∠CAD＝， 所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·BDsin＋BC·BDsin＝(AB＋BC)·BD＝×(4)2＝8．故选C．] 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为(　　) A．， B．， C．， D．， C　[∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0， ∴tan A＝， 又∵A∈(0，π)，∴A＝， 由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C， ∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1， ∴C＝，B＝．] 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若B＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝(　　) A． B．3 C． D．6 B　[由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝2ac，① 又B＝，所以a2＋c2＝b2．② 联立①②解得a＝c＝，所以S＝××＝3．] 二、填空题 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)． ①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解； ②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解； ③a＝15，b＝2，A＝90°，无解； ④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解． ④　[①中a＝bsin A，有一解；②中csin B<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．] 7．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________． 　[由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc ＝－2bccos A＋2bc． 又S＝bcsin A，∴bcsin A＝2bc－2bccos A． ∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0． ∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0． ∴cos A＝1(舍去)或cos A＝．] 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________． 　[在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝．] 三、解答题 9．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值． [解]　由条件得＝＝，∴sin A＝sin C． 同理可得sin B＝sin C． ∴＝＝－． 10．在△ABC中，cos A＝． (1)求sin 2A＋cos2的值； (2)若a＝，求bc的最大值． [解]　(1)∵在△ABC中，cos A＝， ∴sin A＝＝， ∴sin 2A＋cos2＝2sin Acos A＋＝2sin Acos A＋(1－cos A)＝2××＋×＝． (2)由余弦定理可得3＝b2＋c2－bc． ∴b2＋c2＝3＋bc≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立， 解得bc≤， ∴bc的最大值为． 11．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是(　　) A．[3，6] B．(2,4) C．(3，4) D．(3,6] D　[∵A＝，∴B＋C＝π． ∴AC＋AB＝(sin B＋sin C) ＝ ＝2 ＝6sin， ∵B∈，