（练习）课时分层作业17 正弦定理(1)-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十七)　正弦定理(1) 一、选择题 1．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝2，则c＝(　　) A．2　 B．　 C．　 D．1 A　[因为A＝105°，C＝30°，所以B＝45°，则＝，即＝，解得c＝2，故选A．] 2．已知在△ABC中，若b2＝ac，A＝30°，则＝(　　) A． B． C． D． D　[因为b2＝ac，所以sin2B＝sin Asin C，所以＝＝＝sin A＝．] 3．在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是(　　) A．sin A>sin B B．cos A<cos B C．sin 2A>sin 2B D．cos 2A<cos 2B C　[A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cos x是减函数，∴cos A<cos B，B正确． cos 2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－2sin2B， ∵sin A>sin B>0，∴sin2A>sin2B， ∴cos 2A<cos 2B，D正确．] 4．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是(　　) A． B． C． D． A　[由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k， ∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk， ∴a∶b∶c＝5∶7∶8， ∴cos B＝＝， ∴B＝．故选A．] 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“acos B＝c”是“△ABC为直角三角形”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 B　[由acos B＝c，得sin Acos B＝sin C，则sin Acos B＝sin(A＋B)，化简得cos Asin B＝0，所以cos A＝0，则A＝90°，即△ABC是直角三角形．反之，A不一定是直角，所以“acos B＝c”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件，故选B．] 二、填空题 6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________． 　[由三角形内角和定理知A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝．] 7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________． 1　[在△ABC中，∵sin B＝，0<B<π，∴B＝或B＝． 又∵B＋C<π，C＝， ∴B＝， ∴A＝π－－＝． ∵＝， ∴b＝＝1．] 8．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________． 2　[由正弦定理可知＝，即＝，解得AC＝2．] 三、解答题 9．在①cos 2B＋2cos2＝1，②2bsin A＝atan B，③(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________． (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝4，求△ABC周长的取值范围． [解]　方案一：选择条件①． (1)∵cos 2B＋2cos2＝1， ∴2cos2B＋cos B－1＝0， 即(2cos B－1)(cos B＋1)＝0， ∴cos B＝或cos B＝－1， ∵B∈(0，π)，∴cos B＝，B＝． (2)由正弦定理，得＝， 由于a＋c＝4，B＝，A＋C＝， ∴b＝＝＝＝， ∵C∈，∴C＋∈， ∴sin∈， ∴b＝∈[2,4)， ∴△ABC周长的取值范围为[6,8)． 方案二：选择条件②． (1)∵2bsin A＝atan B， ∴2sin Bsin A＝sin A×， 即2sin Bsin Acos B＝sin Asin B， ∵A，B∈(0，π)，∴sin A≠0，sin B≠0， ∴cos B＝，∴B＝． (2)同方案一． 方案三：选择条件③． (1)由内角和定理得sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， ∴(a－c)sin A＋csin C＝bsin B， 由正弦定理，得(a－c)a＋c2＝b2，即a2＋c2－b2＝ac， ∴cos B＝＝， ∵B∈(0，π)，∴B＝． (2)同方案一． 10．(2020·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝3，c＝，B＝45°． (1)求sin C的值； (2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan ∠DAC的值． [解]　(1)因为a＝3，c＝，B＝45°． 由余弦定理可得： b＝＝＝， 由正弦定理可得＝，