（练习）课时分层作业16 余弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十六)　余弦定理 一、选择题 1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝， ∴A＝60°．] 2．如图，把7 m长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足3 m的地面上，另一端在沿堤向上5 m的地方，棒的上端恰好可以与堤的顶端平齐，则该石堤的高为(取＝1.732)(　　) A．4.22 m B．4.30 m C．4.33 m D．4.40 m C　[设石堤对地面的倾斜角为α．由余弦定理可得cos(π－α)＝＝－，故cos α＝， 则sin α＝，则石堤的高为5×＝5×0.866＝4.33(m)．] 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 C　[由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．] 4．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° B　[设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∴θ＝60°．则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°．] 5．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，b＝3，则c的取值范围是(　　) A．(2,4) B．(2，3] C．[3，) D．(2，) D　[由题意得2<c<4．由题意得0<cos A<1，且0 < cos B< 1，且0<cos C<1，所以9＋c2－1>0，且c2＋1－9>0，且1＋9－c2>0, 所以2<c<．因为2<c<4，所以2<c<．故选D．] 二、填空题 6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________． 0　[∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120° ＝a2＋c2＋ac， ∴a2＋c2＋ac－b2＝0．] 7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________． 1　[∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1或a＝－2(舍去)，∴a＝1．] 8．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________． 4　[5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0， ∴x1＝，x2＝－2(舍去)， ∴cos C＝． 根据余弦定理， c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16， ∴c＝4，即第三边c的长为4．] 三、解答题 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2B－3cos B－1＝0． (1)求角B的大小； (2)内角B的平分线交线段AC于点D，且BD＝3，AD＝3DC，求a的值． [解]　(1)∵cos 2B＝2cos2B－1， ∴2cos2B－3cos B－2＝0， ∴cos B＝－或cos B＝2(舍去)． 又0<B<π，∴B＝． (2)AD＝3DC，由角平分线定理得c＝3a， ． 法一：在△ABD中，由余弦定理得AD2＝9a2＋9－9a， 在△CBD中，由余弦定理得DC2＝a2＋9－3a， ∴9a2＋9－9a＝9(a2＋9－3a)， ∴a＝4． 法二：∵＝＋， ∴＝＋＋·， 又c＝3a，cos B＝－， ∴9＝a2＋a2＋， 即a2＝16，∴a＝4． 10．在△ABC中，已知cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状． [解]　在△ABC中， 由cos2＝，得＝， ∴cos A＝． 根据余弦定理的推论，得＝． ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形． 11．(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，tan B＝2cos A，则(　　) A．sin A＝cos B B．C＝2A C．b＝a D．c＝2a ACD　[∵a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝＝＝，∵0<A<π，∴A＝．∵tan B＝2cos A＝，∴B＝，则C＝，∴b＝a，c＝2a，sin A＝cos B．故选ACD．] 12．(多选题)在△AB