（练习）课时分层作业14 二倍角的三角函数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十四)　二倍角的三角函数 一、选择题 1．sin 10°sin 50°sin 70°＝(　　) A． B． C． D． C　[sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°＝＝＝．] 2．若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A． B． C． D． A　[因为α∈，所以tan 2α＝＝，即＝，即2cos2α－1＝4sin α－2sin2α⇒2sin2α＋2cos2α－1＝4sin α，所以sin α＝，所以tan α＝．故选A．] 3．设cos 2θ＝，则cos4θ＋sin4θ＝(　　) A． B． C． D． C　[cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ) ＝＋cos22θ＝＋×＝．] 4．若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． C　[法一(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限， 所以或， 所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝．故选C． 法二(弦化切法)：因为tan θ＝－2， 所以＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ ＝＝＝．故选C． 法三(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ． 则＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝＝＝．故选C．] 5．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α＝(　　) A． B．1 C． D． D　[∵sin2α＋cos 2α＝， ∴sin2α＋cos2α－sin2α＝， ∴cos2α＝． 又α∈， ∴cos α＝，sin α＝．∴tan α＝．] 二、填空题 6．已知tan＝，tan＝－，则tan(α＋β)＝________． 　[∵tan＝tan ＝ ＝＝， ∴tan(α＋β)＝＝＝．] 7．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________． 　[∵α为锐角， ∴α＋∈， 又∵cos＝， ∴sin＝， ∴sin＝2sincos＝， cos＝2cos2－1＝， ∴sin ＝sin ＝sincos －cossin ＝×－×＝．] 8．已知由sin 2x＝2sin xcos x，cos 2x＝2cos2x－1，cos 3x＝cos(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cos 3x＝4cos3x－3cos x．已知cos 54°＝sin 36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝________； 如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则·＝________． 　5＋　[因为cos 54°＝sin 36°，所以4cos318°－3cos 18°＝2sin 18°cos 18°，即4cos218°－3＝2sin 18°，所以4(1－sin218°)－3＝2sin 18°，即4sin218°＋2sin 18°－1＝0．因为0<sin 18°<1，所以sin 18°＝＝．在五角星ABCDE中，EG＝EI，HG＝HI，HE＝HE，故△EHG≌△EHI，从而可得∠HEG＝∠CEB＝18°，∠EHG＝∠IHG＝54°，过点H作HM⊥BE，垂足为点M(图略)，则∠GHM＝18°．又cos∠GHM＝，从而有HM＝GHcos∠GHM＝2cos 18°，于是HE＝＝，所以·＝||||cos 54°＝2××sin 36°＝8cos218°＝8－8sin218°＝8－8×＝8－(3－)＝5＋．] 三、解答题 9．已知tan α＝－． (1)求的值； (2)若tan(α－β)＝，求tan(3α－2β)的值． [解]　(1)因为tan α＝－， 所以cos α≠0， 且cos α＋sin α≠0， 所以＝＝＝tan α＝－． (2)因为tan(α－β)＝， 所以tan(2α－2β)＝＝， tan(3α－2β)＝tan[(2α－2β)＋α]＝＝． 10．设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)． (1)求函数y＝的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f在上的最大值． [解]　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x， 所以f ＝sin＋cos＝cos x－sin x， 所以y＝＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x． 所以函数y＝的最小正周期T＝＝π． (2)f ＝sin＋cos＝sin x， 所以y＝f(x)f ＝sin x(sin x＋cos x)＝(sin xcos x＋sin2x) ＝＝sin＋． 当x∈时，2x－∈， 所以当2x－＝，即x＝时，