（练习）课时分层作业10 向量应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十)　向量应用 一、选择题 1．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 C　[＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝0， 即⊥，又≠，故△ABC为直角三角形．] 2．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　) A．10 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s B　[由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小|v|＝＝＝2 m/s．] 3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是(　　) A．5 N B．8 N C．10 N D．12 N C　[因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N．] 4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 D　[由·＝·＝·，可得·－·＝0，(－)·＝0，即·＝0，⊥，同理可证⊥，⊥．所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．] 5．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1,2)，C(1，1)，则B的坐标为(　　) A．(2，－1) B．(0，－1) C．(2,3) D．(0，－1)或(2,3) D　[设B的坐标为(x，y)， 则＝(x－1，y－1)，又＝(2，－1)． 由题意知||＝||，且·＝0， ∴ 解得或] 二、填空题 6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·＝________． 1　[设BC的中点是D，如图所示，则＋＝2，则＝， 所以O和D重合，所以BC是圆O的直径， 所以∠BAC＝90°． 又||＝||， 则||＝1，||＝2，所以∠ABC＝60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×2×＝1．] 7．在四边形ABCD中，若＝，·＝·＝5，则边AC的长为________． 　[因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．因为·＝·，所以·(－)＝0，即·＝0，所以⊥，即⊥．在Rt△ACD中，·＝||2＝5，所以AC＝．] 8．如图，在△ABC中，点D是线段BC上一点(不是端点)，AD⊥BC，且·＝2－，则BD∶DC的值为________；若2||2＋||2＝3||2＋6，则BC＝________． 　3　[∵·＝2－，且AD⊥BC，∴(＋)·(＋)＝2(||2＋||2)－(||2＋||2)，∴||2－||·||＝2(||2＋||2)－(||2＋||2)，解得||＝2||，∴BD∶DC的值为．若2||2＋||2＝3||2＋6，则2||2＋2||2＋||2＋||2＝3||2＋6，又||＝||，∴BD＝1，BC＝3．] 三、解答题 9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°．(用向量方法证明) [证明]　连接OP，设向量＝a，＝b， 则＝－a，且＝－＝a－b，＝－＝－a－b， ∴·＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0， ∴⊥，即∠APB＝90°． 10．帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h．若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向． [解]　建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度的大小为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度的大小为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2． 由题意，可得v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，10)，v2＝(20,0)， 则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)， 所以|v|＝＝20(km/h)． 因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°． 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h． 11．(多选题)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　) A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B．若·＝·＝0，则点O为△ABC的垂心 C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心 D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心 AC　[选项A，设D为BC的中点，由于＝－(＋)＝－2·，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为△ABC的重心． 选项B，向量，分别表示在边AC和AB上取单位向量′和′，记它们的差是向量，则