（练习）课时分层作业8 向量数量积的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(八)　向量数量积的坐标表示 一、选择题 1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　) A．14 B．11 C．10 D．5 B　[a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)， ∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11．] 2．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 C　[因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C．] 3．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． B　[由于2a＋b＝(4,2)，则b＝(4,2)－2a＝(2,0)， 则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2． 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝． 又θ∈[0，π]，所以θ＝．] 4．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则A·A的取值范围是(　　) A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) A　[·＝||·||cos∠PAB＝2||cos∠PAB，又|||cos∠PAB|表示在上的投影向量的模， 所以结合图形可知，当P与C重合时·最大，当P与F重合时·最小．又·＝2×2cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A．] 5．(多选题)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，则(　　) A．(a＋b)·b＝4 B．(a－3b)⊥b C．|a－b|＝|b| D．a2＝b2＋4a·b ABD　[a＋b＝(－4,2)，所以(a＋b)·b＝－4×(－1)＋0＝4，故A正确；a－3b＝(0,2)，所以(a－3b)·b＝0，所以(a－3b)⊥b，故B正确；a－b＝(－2，2)，所以|a－b|＝＝2，|b|＝1，所以|a－b|＝2|b|，故C错误；a2＝(－3)2＋22＝13，b2＋4a·b＝1＋4×[(－3)×(－1)＋0]＝13，即a2＝b2＋4a·b，故D正确．故选ABD．] 二、填空题 6．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________． －　[因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2， 则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cos θ＝＝＝－．] 7．已知a＝(4,2)，则与a垂直的单位向量b＝________． 或　[设b＝(x，y)， 则由 得或] 8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________． 　　[依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝||·||·cos∠BAD＝－||＝－，得||＝1，因此λ＝＝．取MN的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－．注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sinB＝，因此2－的最小值为－＝，即·的最小值为．] 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)． (1)求∠OCM的余弦值； (2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由． [解]　(1)由题意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)， 故cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝＝． (2)设P(t，)，其中1≤t≤5， 则＝(t，)，λ＝(λt，λ)， －λ＝(6－λt，－λ)． 若(－λ)⊥， 则(－λ)·＝0， 即12－2λt＋3λ＝0，可得(2t－3)λ＝12． 若t＝，则λ不存在； 若t≠，则λ＝，t∈∪， 故λ∈(－∞，－12]∪． 10．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)． (1)求·及在上的投影向量； (2)求||的最小值． [解]　(1)·＝8，设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴在上的投影向量为(||cos θ)＝4××＝＝(1，)． (2)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22＝16λ2－16λ＋16＝16＋12， ∴当λ＝时，||取到最小值为2． 11．(多选题)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为线段AB上靠近A点的三等分点，E为CD的中点，则下列结