（练习）课时分层作业5 向量的数量积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(五)　向量的数量积 一、选择题 1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．±1 D　[∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°， ∴e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝±1．] 2．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝(　　) A． B． C．－ D．± D　[(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±．] 3．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A．a＋2b　　　　　 B．2a＋b C．a－2b D．2a－b D　[由已知可得a·b＝|a||b|cos 60°＝1×1×＝．对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A错误；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0，故B错误；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C错误；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0，故D正确．故选D．] 4．已知单位向量a，b，若a·b＝－，向量b在向量a上的投影向量为c，向量a在向量b上的投影向量为d，则(　　) A．|c|＝|d| B．a·b＝a·c C．d＝b D．c·d＝－ ABD　[设向量a与b的夹角为θ．∵a，b为单位向量，∴|a|＝|b|＝1．由a·b＝|a||b|cos θ＝－，得cos θ＝－，∴c＝(|b|cos θ)＝－a，d＝(|a|cos θ)＝－b，∴|c|＝，|d|＝，a·c＝－a2＝－，c·d＝－a·＝a·b＝－，故A，B，D正确．故选ABD．] 5．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[与的夹角为锐角，所以||2＋||2＋2·>||2＋||2－2·， 即|＋|2>|－|2， 因为－＝， 所以|＋|>||； 当|＋|>||成立时，|＋|2>|－|2⇒·>0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角．故“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件，故选C．] 二、填空题 6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影向量等于________． 　　[·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0， 解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的投影向量是(|b|cos 45°)＝××＝．] 7．已知a为单位向量，且(a＋b)⊥(a－b)，|a＋b|＝，则向量a与b的夹角是________． 　[设向量a与b的夹角为θ．∵|a|＝1，(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1－b2＝0，∴|b|＝1．又|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝3，∴a·b＝，∴cos θ＝＝．又θ∈[0，π]，∴θ＝．] 8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国传统民间艺术之一．图(1)是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形窗花，已知图(2)中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则·的取值范围是________． (1)　　　　　(2) [8,12]　[法一：正六边形ABCDEF的内切圆半径为r＝OAsin 60°＝4×＝2，外接圆的半径为R＝4．·＝(＋)·(＋)＝＋·＋·＋·＝2＋·(＋)－＝－2＝－4．因为r≤||≤R，即2≤||≤4，所以12≤≤16，可得8≤－4≤12． 法二：连接PO(图略)，则由极化恒等式知·＝－＝||2－4，又易知2≤||≤4，所以12≤||2≤16，可得8≤||2－4≤12，故·的取值范围是[8,12]．] 三、解答题 9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61． (1)求|a＋b|； (2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量． [解]　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61． ∵|a|＝4，|b|＝3， ∴a·b＝－6， ∴|a＋b|＝ ＝＝． (2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10， ∴向量a在向量a＋b方向上的投影向量为·＝＝(a＋b)． 10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？ [解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＞0， ∴k＞