（练习）课时分层作业4 向量的数乘-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(四)　向量的数乘 一、选择题 1．已知O，A，B，C是平面内的四个点，满足＋3＝0，则＝(　　) A．－ B．＋ C．－ D．＋ D　[由题意可知，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故选D．] 2．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝(　　) A．(b－a) B．(b－a) C．(a－b) D．(a－b) A　[＝＋＝－＝－＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．] 3．已知实数m，n和向量a，b，则下列结论正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n ABD　[易知A，B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确．] 4．已知a，b是两个不共线的向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 B　[∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴与平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．] 5．在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝(　　) A．2＋ B．－2 C．2－ D．＋2 C　[在△ABC中，D是AB边上的中点， 则＝＋＝＋＝＋(＋)＝2－．故选C．] 二、填空题 6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝________．(用e1，e2表示) e2－e1　[∵＝， ∴＝－＝3e2－2e1． 又∵＝2， ∴＝e2－e1．] 7．＝________． 2b－a　[＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a．] 8．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________． －2　[∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0． 又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb， 即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2． ∴∴] 三、解答题 9．如图，F为线段BC的中点，CE＝2EF，DF＝AF，设＝a，＝b，试用a，b表示，，． [解]　因为＝b－a，＝＝＝(b－a)，所以＝＋＝a＋b． 因为＝(a＋b)，所以＝＝(a＋b)，所以＝－＝(a＋b)－b＝a－b． 10．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形． [证明]　如图所示． ∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝ －8a－2b＝2(－4a－b)， ∴＝2．∴与共线，且||＝2||． 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD＝2BC． ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 11．已知△ABC和点M满足＋＋＝0．若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[由＋＋＝0可知，M是△ABC的重心．取BC的中点D，则＋＝2． 又M是△ABC的重心，∴＝2，∴＝， ∴＋＝3，即m＝3．] 12．如图，在△ABC中，＝NC，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　) A． B． C． D． C　[法一：因为＝，所以＝． 设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)， 又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故选C． 法二：因为＝，所以＝， 所以＝t＋＝t＋， 因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，故选C．] 13．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λμ＝________． 1　[∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb， 则消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数使＝，故和共线． ∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．] 14．在△ABC中，＝2，＝m＋n，则m＝________，n＝________． 　　[＝2，∴－＝2－2，∴3＝＋2，∴＝＋，∴m＝，n＝．] 15．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求＋的值． [解]　法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E． 由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因为＝m，所以m＝，整理可得＋＝3． 法二：连接AD(图略)．因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)·． 又＝m，＝n，所以＝λm