第一章 空间向量与立体几何综合复习——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 知源高中五环乐学课堂《学案》 高二数学 选择性必修一第一章 使用时间：2024年1月15日 主笔人：蒋卓 审核人：张衍 试做人：易朝 选择性必修一第一章 综合复习 相关知识点： 1.特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 2.空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 3.空间向量的数量积及性质 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2. (3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. (2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 5.空间向量平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有： 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). 垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 6.夹角和长度的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， cos〈a，b〉＝＝. (2)空间两点间距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1P2＝||＝. 7.(1)两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. (2)直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. (3)两个平面的夹角 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 一、单选题 1.已知两个向量，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在四面体中，，，点在上，且，为中点，则等于(    ) A. B. C. D. 3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点到的中点的距离为(    ) A. B. C. D. 4.已知向量，则向量在向量上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 5.已知空间中三点，，，则(    ) A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 二、多选题 6.已知空间向量，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 7.如图，正方体的棱长为，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则(    ) A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 三、填空题 8.已知空间中单位向量，且，则的值为          ． 9.已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________． 10.如图，在直棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为          ． 四、解答题 11.已知空间中三点，，设，． 求若与互相垂直，求实数的值． 12. 三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， ，分别是，的中点． 求证：平面； 求平面和平面的夹角的余弦值． 加餐卷 13.如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，且平面平面，