复习01讲 基本不等式求最值问题（精讲+精练）2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册） 复习01讲 基本不等式求最值问题（精讲+精练） ①直接法求最值 ②常规凑配法求最值 ③消参法求最值 ④“1”的代换求最值 ⑤求商式的最值 ★⑥柯西不等式求最值 一、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 二、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 三、柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 2.二维形式的柯西不等式的变式 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。 4.扩展：，当且仅当时，等号成立. ①直接法求最值 策略方法 直接利用基本不等式求解，注意取等条件 【题型精练】 一、单选题 1．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的最大值是（    ） A． B．4 C．8 D．16 4．已知正数满足，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若，则的最大值为 ． 6．已知正数，满足，则的最大值为 ． 7．用长度为米的材料围成一个矩形场地，场地中间用该材料加两道与矩形的边平行的隔墙，若使矩形的面积最大，则隔墙的长度是 米． 8．若实数满足，则的最小值为 ． ②常规凑配法求最值 策略方法 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 【题型精练】 一、单选题 1．函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 2．已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题 4．已知正实数、满足，则的最大值为 ． 5．已知，则的最大值为 ． 6．若，则的最大值是 . ③消参法求最值 策略方法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 【题型精练】 一、单选题 1．已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知实数，满足，且，则的最小值是（    ） A．33 B．26 C．25 D．21 3．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 4．已知，，且，则不等式：（1），（2），（3），（4）；其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．已知正实数满足，则的最小值是 ． 6．已知，，且，则的最小值为 . ④“1”的代换求最值 策略方法 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 注意：（1）根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．（2）注意验证取得条件． 【题型精练】 一、单选题 1．已知，，若，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．13 C．12 D．9 3．已知且满足则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．当时，的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 二、填空题 6．若正实数，满足，则的最大值为 ． 7．已知，且，则的最小值是 . 8．已知，，且，则的最小值为 ． ⑤求商式的最值 【题型精练】 一、单选题 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 二、填空题 5．函数 的最大值为 . 6．已知，则函数的最小值是 ． ★