7.2.1 任意角的三角函数7种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

7.2.1 任意角的三角函数7种常见考法归类 1、三角函数的定义 (1)定义1：一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点距离是r，则r＝；此时，点P是角α的终边与半径为r的圆的交点.则： ①比值叫作α的正弦，记作sinα，即sin α＝； ②比值叫作α的余弦，记作cosα，即cos α＝； ③比值(x≠0)叫作α的正切，记作tanα，即tan α＝(x≠0). (2)定义2：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 (3)三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 2、三角函数的符号 【口诀记忆】 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是在第一象限各三角函数值全为正， 在第二象限只有正弦值为正，在第三象限 只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 3、三角函数线 如下图所示： (1)正弦线：角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线； (2)余弦线：有向线段OM即为余弦线 (3)正切线：过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线 4、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 5、已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝．当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 6、已知特殊角α，求三角函数值的方法 (1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标． (2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值(此时P到原点的距离r＝1)． 7、三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. (3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上. 8、利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法,对于sin x≥b，cos x≥a，sin x≤b，cos x≤a，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围. (2)正切型不等式的解法,对于tan x≥c，取点（1，c），连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1 利用定义求某角的三角函数值 考点2 由终边或终边上的点求三角函数值 考点3 由三角函数值求终边上的点或参数 考点4 由单位圆求三角函数值 考点5 已知角或角的范围确定三角函数式的符号 考点6 由三角函数式的符号确定角的范围或象限 考点7三角函数线的应用 考点1 利用定义求某角的三角函数值 1．（2023·全国·高一课堂例题）求角的正弦、余弦和正切值． 2．（2023·全国·高一课堂例题）利用定义求的正弦、余弦和正切值． 3．（2023·高一课时练习）利用三角函数的定义，求下列各角的正弦、余弦和正切值： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（2023上·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于y轴对称，则满足的一个角的值可以是 ． 考点2 由终边或终边上的点求三角函数值 5．（2023上·四川成都·高一校考阶段练习）已知角的终边经过点， 则的值为（    ） A．