7.1 角与弧度9种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

7.1 角与弧度9种常见考法归类 1、任意角的定义 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的表示： ①始边：射线的起始位置． ②终边：射线的终止位置． ③顶点：射线的端点O． ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． （3）角的分类： ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 （4）角的加法 对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β；射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角.角α的相反角记为－α，于是α－β＝α＋(－β). 2、判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可. 3、终边相同的角、象限角与其集合表示 (1)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和. (2)象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 (3)象限角的集合表示 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 4、轴线角及其集合表示 (1)轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 (2)轴线角的集合表示 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 5、终边相同的角解题注意点 (1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值. (2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并. 注：终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少． 6、象限角的判定方法 (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． (2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． 7、表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合. 8、倍角、分角所在象限的判定思路 (1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况. (2)已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2；…；k被n除余n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观. 9、弧度制 (1)角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. (3)弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 10、角度制与弧度制之间的互化 (1)角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120°