5.2.1基本初等函数的导数 2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 教学目标 1.能根据导数的定义推导常用函数的导数 2.掌握基本初等函数的导数公式 3.利用基本初等函数的导数公式解决有关问题 01 复习导入 复习导入 导数的概念 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或， 即 复习导入 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时， 是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y=就是x的函数，称它为y=f(x)的导函数，记作： 导函数的定义 02 基本初等函数的导数 新知探究 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题. 新知探究 问题1 ：前面我们学习了导数的定义，并且会用定义求函数在某一点处的导数，那么由导数定义求函数y=f (x)的导数的步骤是什么呢？ ①求平均变化率： ②取极限，得导数： 问题2:你能根据导数的定义，求出下列函数的导数吗？ 根据导数的定义，求函数y＝f (x)的导数，就是求出当Δx →0时， 无限趋近的那个定值. 新知探究 1. 函数y=f (x)=c的导数 x y O y＝c 若y＝c 表示位移关于时间的函数，则y′ ＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 新知探究 2. 函数y=f(x)=x的导数 x y O y＝x 若y＝x 表示位移关于时间的函数，则y′ ＝1可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速直线运动. 新知探究 3. 函数y=f(x)=x2的导数 表示函数的图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；当时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快. 若表示位移关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为. 新知探究 4.函数的导数 因为， 表示函数的图象(如图)上点处切线的斜率为，这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 所以. 新知探究 5.函数的导数 因为， 所以. 新知探究 6.函数的导数 因为， 所以. O x y 新知探究 y=f(x)=x的导数：y′ ＝1 y=f(x)=x2的导数：y′＝2x y=f(x)=x3的导数：y′＝3x2 y=f(x)= 的导数： y=f (x)= 的导数： 思考：以上函数都是什么函数？它们的导函数有什么规律？ 新知探究 l l 函数 导函数 (且) (且) ( ) 基本初等函数的导数公式 新知探究 例1.求下列函数的导数. （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） . 解：（1） . （2） . （3） . 新知探究 （4）因为 ， 所以 . （5）因为 ， 所以 . 新知探究 方法总结： 新知探究 新知探究 新知探究 例2.已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求曲线过点处的切线方程. 解：∵，∴. （1）显然是曲线上的点， ∴为切点，所求切线斜率为函数在点的导数，即. ∴曲线在处的切线方程为，即. 新知探究 (2)：显然不在曲线上，则可设过该点的切线的切点为， 那么该切线斜率为. 则切线方程为.① 将代入方程得. 解得，代入方程①整理可得切线方程 新知探究 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 新知探究 新知探究 新知探究 例2.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价(单位：元)与时间(单位：年)之间的关系为 其中为时的物价.假定某种商品的那么在第10个年头, 这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？ l 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 所以. 所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08年/年的速度上涨. 新知探究 03 课堂小结 课堂小结 利用导