导数专题：导数与曲线切线问题（6大题型）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第二册）

导数与曲线切线问题 一、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点） 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 二、切线条数问题 求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线问条数问题转化为关于的方程的实根个数问题。 三、公切线问题 研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面： （1）两个曲线有公切线，且切点是同一点； （2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。 四、已知切线求参数问题 此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。 题型一 “求在”某点处的切线方程 【例1】（2023·江苏连云港·高三海州高级中学校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·高二课时练习）（多选）若曲线在点处的切线方程是，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·湖南·高二期中）已知曲线在点处的切线与曲线相切，求的值. 【变式1-3】（2023·江苏盐城·高二阜宁中学校考期中）（多选）下列函数的图象可能与直线相切的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）若的图象在处的切线分别为，且，则（ ） A． B．的最小值为2 C．在轴上的截距之差为2 D．在轴上的截距之积可能为 题型二 求“过”某点的切线方程 【例2】（2022·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）过坐标原点且与曲线相切的直线斜率为（ ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（2023·重庆·高二南开中学校考开学考试）过点作曲线的切线，所得切线斜率为（ ） A．－3 B．0或3 C．－3或24 D．0 【变式2-2】（2023·北京大兴·高二统考期中）已知过点的直线与曲线的相切于点，则切点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·江苏盐城·高二阜宁中学校联考期末）已知函数，其中是的导函数. （1）求； （2）求过原点与曲线相切的切线方程. 题型三 切线的平行与垂直问题 【例3】（2023·江西·高二校联考期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·湖南长沙·高二明德中学校考阶段练习）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数 . 【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数 ． 【变式3-4】（2023·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知曲线与曲线在处的切线互相垂直，则 ． 题型四 切线的条数问题 【例4】（2022·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）若过可作的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·河北邯郸·高二统考期末）（多选）已知函数，若过点恰能作2条曲线的切线，则的值可以为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（2023·福建厦门·高二厦门一中校考期中）若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是 . 【变式4-3】（2023·广东广州·高二真光中学校考阶段练习）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型五 两曲线的公切线问题 【例5】（2023·江苏南通·高二校考期中）曲线