导数专题：含参函数单调性问题讨论（4大题型）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第二册）

含参函数单调性问题讨论 一、导数与函数的单调性 1、用导数求函数的单调性的概念： 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内是函数在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对，都有 且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、确定函数单调区间的求法 （1）确定函数的定义域； （2）求； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 二、含参函数单调性讨论依据 讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类： （1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； （2）导函数是都有变号零点，即“有没有”； （3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”； （4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。 三、两大类含参导函数的具体方法 1、含参一次函数单调性讨论 （1）讨论最高次项是否为0，正负情况； （2）求解导函数的根； （3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值. 2、含参二次函数单调性的讨论 （1）确定函数的定义域； （2）讨论最高次项是否为0，正负情况； （3）可因式分解型，解得（注意讨论）；不可因式分解型，讨论及； （4）讨论和的大小，能因式分解的，注意讨论； （5）将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值， 判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。 题型一 导函数为一次型 【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．讨论函数的最值； 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数.当时，讨论函数的单调性. 【变式1-3】（2023·甘肃武威·高二统考期中）已知函数. （1）若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值； （2）求函数的单调区间． 题型二 导函数为二次可分解型 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调区间. 【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，讨论的单调性. 【变式2-3】（2023上·河北衡水·高三河北冀州中学校考期中）已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 题型三 导函数为二次不可分解型 【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调性. 【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性. 【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【变式3-3】（2023·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间. 题型四 其他类型的含参讨论 【例4】（2023·全国·高二专题练习）讨论函数 的单调性； 【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，讨论函数的单调性. 【变式4-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【变式4-4】（2023·江西萍乡·高二统考期末）已知函数. （1）求函数的最小值； （2）设函数，试讨论的单调性. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 含参函数单调性问题讨论 一、导数与函数的单调性 1、用导数求函数的单调性的概念： 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内是函数在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对，都有 且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、确定函数单调区间的求法 （1）确定函数的定义域； （2）求； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 二、含参函数单调性讨论依据 讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类： （1）最