（讲义）第6章 6.1 6.1.1 函数的平均变化率-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

6.1　导　数 6.1.1　函数的平均变化率 1．理解平均变化率的概念．(重点) 2．会求函数的平均变化率．(难点、易混点) 3．会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．(难点) 1．通过函数的平均变化率的学习，培养数学抽象素养． 2．借助函数的平均变化率的计算，提升数学运算素养． 某市某年4月20日最高气温为33.4 ℃，而4月19日和4月18日最高气温分别为24.4 ℃和18.6 ℃，短短两天时间，气温陡增14.8 ℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市某年3月18日最高气温3.5 ℃与4月18日最高气温18.6 ℃进行比较，发现两者温差为15.1 ℃，超过了14.8 ℃，而人们却不会发出上述感叹，这是什么原因呢？容易看出点B，C之间的曲线比点A，B之间的曲线更加“陡峭”．如何量化曲线上某一段的“陡峭”程度呢？(气温曲线图如图所示(以3月18日作为第一天)． 知识点1　函数的平均变化率 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f (x1)，y2＝f (x2)，则 (1)自变量的改变量Δx＝x2－x1； (2)因变量的改变量Δy＝y2－y1(或Δf ＝f (x2)－f (x1))； (3)f (x)在[x1，x2]上的平均变化率为＝． (4)平均变化率的意义：刻画函数值在定义域D上变化的快慢． 在平均变化率中，Δx，Δy，是否可以为0？当平均变化率为0时，是否说明函数在该区间上一定为常函数？ [提示]　在平均变化率中，Δx可正可负但Δx不可以为0；Δy可以为0；可以为0． 当＝0时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如f (x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率是0，但它不是常函数． 拓展：函数的平均变化率的几何意义 如图所示，函数f (x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))，事实上kAB＝＝． 1．如图，函数y＝f (x)在[1，3]上的平均变化率为(　　) A．1　　B．－1　　C．2　　D．－2 B　[＝＝－1．] 知识点2　平均速度与平均变化率 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为 (m/s)． 即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． 拓展：函数的平均变化率的物理意义 (1)如果物体运动的位移x与时间t的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2]这段时间内的平均速度为． 这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． (2)如果物体运动的速度v与时间t的关系为v＝v(t)，则物体在[t1，t2]这段时间内的平均加速度为． 这就是说，物体在某段时间内的平均加速度等于v＝v(t)在该段时间内的平均变化率． 2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________． 3>2>1　[∵1＝＝kMA， 2＝＝kAB，3＝＝kBC， 由图像可知：kMA<kAB<kBC， ∴3>2>1．] 类型1　求函数的平均变化率 【例1】　(对接教材)求y＝f (x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值． [解]　∵Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2， ∴函数f (x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝＝4x0＋2Δx， 当x0＝1，Δx＝时， 平均变化率为4×1＋2×＝5． 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与因变量的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： [跟进训练] 1．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　) A．－3　　　B．2　　　C．3　　　D．－2 C　[根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3．] 2．已知函数f (x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 C　[∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝[2(1＋Δx)2－4]－(－2)＝2(Δx)2＋4Δx， ∴＝＝4＋2Δx．] 类型2　求物体运动的平均变化率 【例2】　跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10． (1)求运动员在这