（讲义）第5章 5.4 数列的应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

5.4　数列的应用 1．正确理解分期付款的两种计算方式．(重点) 2．了解政府支出的“乘数”效应的相关知识．(重点) 3．能够利用等差(比)数列的知识解决一些实际问题．(难点、易错点) 1．通过分期付款及政府支出的“乘数”效应的学习，培养逻辑推理、数学运算的素养． 2．应用数列的递推关系解决数列问题，培养数学建模的素养． 我国现代都市人的消费观念正在变迁——我们对“花明天的钱圆今天的梦”已不再陌生；许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们生活．在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段．为迎合消费心理，商家各尽其能；但面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？ 知识点1　分期还款与数列 1．等额本金还款法 “等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率． 假如贷款本金为A0元，分成m期偿还，并且每一期的利率为r(r>0)，记每期还款的钱数构成的数列为a1，a2，…，am，则第n期所要还的钱数an的表达式为 即每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率． 等额本金还款问题实际上就是等差数列问题，由于数列{an}为递减数列，所以还款金额逐月递减． 2．等额本息还款法 (1)现值与未来值 经济学中，现值是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值，俗称“本金”，也称折现值，通常记作A0．未来值又称终值或本利和，是指现在一定量的资金在未来某一时点上的价值，通常记作A． 若记现在的A0元相当于n年后的A元，银行存款的年利率为r(r>0)且每年结算一次利息(不计利息税，下同)，则A0(1＋r)n＝A，即A0＝． (2)等额本息还款法 “等额本息还款法”是把贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到每一期中，每一期的还款额是固定的．若贷款时的资金A0元为现值，分成m期偿还，并且每一期的利率为r(r>0)，每一期的还款额为x元，则x＝． 即：每期还款额＝． 拓展：根据现值与未来值的关系可知，第n期所还的现值An＝，则现值{An}构成等比数列，根据等比数列前n项求和公式可知，Sm＝A0，解得x＝．根据指数函数的性质可知，每期还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减． 1．(对接教材P43例1)自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还________元；如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其每年还款约________元．(1.0510≈1.628 89) 29 000　25 901　[如果采用“等额本金还款法”，第二年应还20 000＋(200 000－20 000)×5%＝29 000元．如果采用“等额本息还款法”每年应还≈25 901(元)．] 知识点2　政府支出的“乘数”效应与数列 假如政府某项支出增加A亿元，使得消费理念相同的部分受益居民将收入增加量的q%用于国内消费，产生第1轮国内消费金额为a1＝A×q%(亿元)；国内消费的金额将会产生新一轮的影响，如此下去，第n轮国内消费金额为an＝A×(q%)n(亿元)． 则经过n轮后，国内消费总金额(最初政府支出也算是国内消费)为Sn＝(亿元)． 这样，国内消费总金额Sn是政府支出A的倍，其中就是“乘数”效应中的“乘数”． (1)政府支出的“乘数”效应问题，实际上就是等比数列前n项和问题； (2)需要注意，在政府支出的“乘数”效应问题中，等比数列的首项为a1＝A×q%，不是A；国内消费总金额Sn＝，Sn≠． 拓展：“乘数”效应是一种宏观的经济效应与经济控制手段，是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连锁反应程度．财政政策乘数是研究财政收支变化对国民经济的影响，其中包括财政支出乘数、税收乘数和平衡预算乘数．政府支出乘数也会出现反向作用．如果政府支出下降，而税收和其他因素保持不变，则GDP的下降幅度将等于政府支出的变化量乘以乘数．采取扩张性政策还是紧缩性政策，在采取行动前必须知道实际的乘数究竟有多大，否则将会对国民经济造成极大的伤害． 2.2020年新冠肺炎疫情期间，为了振兴当地经济，某地政府投资20亿元用于发展当地旅游经济，据调查，受惠居民将收入增加量的50%用于国内消费． (1)政府投资金额是第二轮居民用于消费额度的多少倍？ (2)求经过10轮影响之后的国内消费总额(含最初政府投资金额，精确到1亿元)．(1－0.511≈0.990) [解]　(1)由题意可知，第n轮的消费额an＝20×(50%)n(亿元)，∴a2＝20×(50%)2＝5(亿元)， ∴20÷