（讲义）第5章 5.2 5.2.2 等差数列的前n项和-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

5.2.2　等差数列的前n项和 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3．能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点) 1．借助等差数列前n项和公式的推导，培养数据分析的素养． 2．通过等差数列前n项和公式的学习及应用，提升数学运算的素养． 世界新七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格拉，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 知识点1　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 1．如果数列{an}的前n项和的公式是Sn＝An2＋Bn＋C，其中A，B，C为常数，那么{an}一定是等差数列吗？为什么？ [提示]　当C＝0时，该数列是以A＋B为首项，2A为公差的等差数列；当C≠0时，该数列不是等差数列． 由此，我们得到等差数列的另一种判定方法——前n项和公式法． 2．等差数列前n项和Sn＝公式①与Sn＝na1＋d公式②有什么共同点和不同点？ [提示]　分析Sn＝和Sn＝na1＋d两个公式可得，它们的共同点是需要知道a1和n，不同点是公式Sn＝还需要知道an，公式Sn＝na1＋d还需要知道d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式． 当已知首项、末项和项数时，用公式①较为简便； 当已知首项、公差和项数时，用公式②较为简便． 在运用公式Sn＝时，注意结合等差数列的性质． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数． (　　) (2)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}一定不是等差数列． (　　) (3)等差数列的前n项和，等于其首项和第n项的等差中项的n倍． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 知识点2　等差数列前n项和的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式不难推证等差数列的前n项和具有如下性质： (1)项数的“等和”性质：Sn＝＝． (2)若等差数列共有2n－1项，则S2n－1＝(2n－1)an；若等差数列共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)． 运用Sn＝及等差中项的有关性质，可以得到： S2n－1＝＝(2n－1)an，即S2n－1＝(2n－1)an； S2n＝＝n(an＋an＋1)，即S2n＝n(an＋an＋1)． (3)与项数有关的“奇偶”性质： ①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝； ②若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． (4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·． (5)“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为k2d的等差数列． (6)由公式Sn＝na1＋得＝a1＋d＝n＋a1－，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半． 由等差数列的函数特性知，点(n∈N＋)在一条直线上． 从而，－＝d(m，n∈N＋)． 2．已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝25，则S7等于(　　) A．5　　　B．15　　　C．30　　　D．35 D　[因为{an}为等差数列，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4＝25，得a4＝5，所以S7＝＝7a4＝35．故选D．] 类型1　等差数列前n项和Sn中基本量的计算 【例1】　在等差数列{an}中． (1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d； (2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8； (3)已知a16＝3，求S31． [解]　(1)∵Sn＝na1＋n(n－1)d， ∴ 解方程组得a1＝－8，d＝4． (2)∵a6＝10，S5＝5， ∴ 解方程组得a1＝－5，d＝3， ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S8＝＝44． (3)S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93． a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二， 注意利用等差数列的性质可以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用． [跟进训练] 1．在等差数列{an}中． (1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d； (3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n． [解]　(1)由题意，得Sn＝＝＝－5，解得n＝15． 又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－． (2)由已知，得S8